专题9 立体几何中球的相关问题高考真题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题9：立体几何中球的相关问题高考真题 一、单选题 1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】 设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意， 得 ， EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形， 由正弦定理可得 ， ，根据球的截面性质 平面 ， ， 球 的表面积 . 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的性质可知所求距离 . 【详解】 设球 的半径为 ，则 ，解得： . 设 外接圆半径为 ，边长为 ， 是面积为 的等边三角形， ，解得： ， ， 球心 到平面 的距离 . 故选：C. 【点睛】 本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 3．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题 设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示， 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点， 当 平面 时，三棱锥 体积最大 此时， , 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B. 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型． 4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ） 如图,已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 【答案】C 【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C． 考点：外接球表面积和椎体的体积． 5．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一: 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥， ，又 ， 分别为 、 中点， ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， ， 为正方体一部分， ，即 ，故选D． 解法二: 设 ， 分别为 中点， ，且 ， 为边长为2的等边三角形， 又 EMBED Equation.DSMT4 中余弦定理 ，作 于 ， ， 为 中点， ， ， ， ，又 ， 两两垂直， ， ， ，故选D. 【点睛】 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A． 【考点】三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. 7．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）