专题8 面面角高考真题赏析-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题8：线面角高考真题赏析（理数）（解析版） 1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可； （2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，利用公式 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题设，知 为等边三角形，设 ， 则 ， ，所以 ， 又 为等边三角形，则 ，所以 ， ，则 ，所以 ， 同理 ，又 ，所以 平面 ； （2）过O作 ∥BC交AB于点N，因为 平面 ，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，令 ，得 ， 所以 ， 设平面 的一个法向量为 由 ，得 ，令 ，得 ， 所以 故 ， 设二面角 的大小为 ，则 . 【点晴】 本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ． （1）证明：点 在平面 内； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）连接 、 ，证明出四边形 为平行四边形，进而可证得点 在平面 内； （2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可计算出二面角 的余弦值，进而可求得二面角 的正弦值. 【详解】 （1）在棱 上取点 ，使得 ，连接 、 、 、 ， 在长方体 中， 且 ， 且 ， ， ， 且 ， 所以，四边形 为平行四边形，则 且 ， 同理可证四边形 为平行四边形， 且 ， 且 ，则四边形 为平行四边形， 因此，点 在平面 内； （2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 则 、 、 、 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，得 取 ，得 ，则 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，得 ，取 ，得 ， ，则 ， ， 设二面角 的平面角为 ，则 ， . 因此，二面角 的正弦值为 . 【点睛】 本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． （1）证明：平面 平面 ； （2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】 （1）先证 平面CMD,得 ,再证 ，进而完成证明． （2）先建立空间直角坐标系，然后判断出 的位置，求出平面 和平面 的法向量，进而求得平面 与平面 所成二面角的正弦值． 【详解】 解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 因为M为 上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC CM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM 平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. （2）以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz. 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为 的中点. 由题设得 ， 设 是平面MAB的法向量,则 即 可取 . 是平面MCD的法向量,因此 ， ， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 . 【点睛】 本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题． 4．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且 . （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A−PB−C的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） . 【详解】 （1）由已知 ，得AB⊥AP，CD⊥PD． 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD． 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD． （2）在平面 内作 ，垂足为 ， 由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直