专题7 线面角高考真题赏析-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题7:线面角高考真题赏析（解析版） 1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 【来源】【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，只需证明 平面 即可； （2）连接 ，先求证四边形 是平行四边形，根据几何关系求得 ，在 截取 ，由（1） 平面 ，可得 为 与平面 所成角，即可求得答案. 【详解】 （1） EMBED Equation.DSMT4 分别为 ， 的中点， 又 在 中， 为 中点，则 又 侧面 为矩形， 由 ， 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 又 EMBED Equation.DSMT4 ，且 平面 ， 平面 ， 平面 又 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，且平面 平面 又 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 平面 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 （2）连接 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，平面 平面 EMBED Equation.DSMT4 根据三棱柱上下底面平行， 其面 平面 EMBED Equation.DSMT4 ，面 平面 EMBED Equation.DSMT4 故：四边形 是平行四边形 设 边长是 ( ) 可得： ， EMBED Equation.DSMT4 为 的中心，且 边长为 EMBED Equation.DSMT4 故： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解得： 在 截取 ，故 EMBED Equation.DSMT4 且 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 由（1） 平面 故 为 与平面 所成角 在 ，根据勾股定理可得： 直线 与平面 所成角的正弦值： . 【点睛】 本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 2．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷） 如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即 ， ，又因为 ，利用线面垂直的判定定理可以得出 平面 ，又 平面 ，利用面面垂直的判定定理证得平面 平面 ； （2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面 的法向量，设 与平面 所成角为 ，利用线面角的定义，可以求得 ，得到结果. 【详解】 （1）由已知可得， ， ，又 ，所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 ； （2）作 ，垂足为 .由（1）得， 平面 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由（1）可得， .又 ， ，所以 .又 ， ，故 . 可得 . 则 为平面 的法向量. 设 与平面 所成角为 ，则 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II） 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，