专题6 理科高考中的二面角问题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题6：理科高考中的二面角问题（解析版） 求二面角 二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角. 如图： 求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角 根据具体图形确定 是锐角或是钝角： 如果 是锐角，则 ， 即 ； 如果 是钝角，则 ， 即 . 1．如图所示， 平面ABCD，四边形AEFB为矩形， ， ， ． （1）求证： 平面ADE； （2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】 （1）根据 ， ，从而证明平面 平面ADE，从而 平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。 【详解】 （1）∵四边形ABEF为矩形 又 平面ADE，AE 平面ADE 平面ADE 又 ， 同理可得： 平面ADE 又 ，BF，BC 平面BCF ∴平面 平面ADE 又CF平面BCF 平面ADE （2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， , , 设 是平面CDF的一个法向量，则 即 令 ，解得 又 是平面AEFB的一个法向量， ∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为 . 【点睛】 此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。 2．如图 和 均为等腰直角三角形， ， ，平面 平面 ， 平面 ， ， （1）证明： ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 试题分析：（1）本问证明 ，可以通过线面垂直证明线线垂直，根据题意，取AB中点F，连接DF，CF，然后证明AB 平面DFCE，易证明AB CF，AB DF，于是问题得证明；（2）根据第（1）问，以F为原点，FB，FC，FD所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，再求平面 的法向量，再求平面 的法向量，求两个法向量的夹角余弦值，在由图形观察确定二面角与法向量夹角余弦之间的关系. 试题解析：（1）证明：设 的中点为 ，连结 ， 因为 为等腰直角三角形， ， 所以 ， 又 ， 所以 平面 ， 因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 ⊥平面 又 平面 ，所以 . 所以 可确定唯一确定的平面 . 又 平面 , . （2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， . 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，令 ，得 ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，令 ，得 ， 设二面角 平面角为 ，则 ， 所以二面角 的余弦值为 ． 3．如图，在三棱锥中， ，， 设顶点在底面上的射影为． （Ⅰ）求证:； （Ⅱ）设点在棱上，且， 试求二面角的余弦值 【答案】（I）详见解析； （II）． 【解析】 分析：（1）可证BCDE为正方形即可；（2）求面面角则可直接建立空间直角坐标系求出两个面的法向量，在根据向量的夹角公式求解即可. 详解：（I）方法一：由平面得， 又，则平面， 故，…………………………………………3分 同理可得，则为矩形，又， 则为正方形，故．…………………6分 方法二：由已知可得，设为的中点，则 ，则平面，故平面平面，则顶点在 底面上的射影必在，故． （II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为， 则易证得，故即为二面角的平面角，……………………………9分 由已知可得，则，故，则， 又，则，………………………………………………………………故，即二面角的余弦值为．………………………14 分 方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐 标系，则， 可得，则，易知平面 的一个法向量为，设平面的一个法向量为 ，则由得， 则，即二面角的余弦值为． 点睛：解立体几何题关键是首先要将已知的量的关系理清楚，在根据问题逆向分析需要哪些条件，而对于二面角问题则通常直接选择建系利用向量来求解. 4．如图，四棱锥 中， ， ， ， 是 中点， 平面 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）根据题中所给长度可得 ，即 ，利用余弦定理，可求得 ，则可得 ，利用线面垂直的性质，可得 ，根据线面垂直的判定定理即可得证. （2）如图建系，分别求得平面 和平面 的法向量，利用向量法求得二面角 的余弦值，进而可求得答案. 【详解】 （1）证明：∵ ， ， ∴ ，即 ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ 平面 ，∴ ， ∵ ， ， 平