专题5 向量法做立体几何的线面角问题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题5：理科高考中的线面角问题（解析版） 求直线和平面所成的角 求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，　则 为 的余角或 的补角 的余角.即有： 1．如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,点 是 的中点,连接 ． （1）证明:平面 平面 ; （2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】 （1）由 是等边三角形, ,得 ．再证明 , ,从而和证明 平面 ,故平面 平面 得证． （2）作 ,垂足为 连接 ．由 ,证得 EMBED Equation.DSMT4 结合二面角 为 ,可得 , , .建立空间直角坐标系,求出点的坐标则 , ,向量 ,即平面 的一个法向量 ,运用公式 和 ,即可得出直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】 解:（1）证明:因为 是等边三角形, , 所以 ,可得 ． 因为点 是 的中点,则 , , 因为 , 平面PBD, 平面 , 所以 平面 ,因为 平面 , 所以平面 平面 ． （2）如图,作 ,垂足为 连接 ． 因为 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为二面角A-BD-C的平面角． 由已知二面角 为 ,知 ． 在等腰三角形 中,由余弦定理可得 ． 因为 是等边三角形,则 ,所以 ． 在 中,有 ,得 , 因为 ,所以 ． 又 ,所以 ． 则 , ． 以 为坐标原点,以向量 EMBED Equation.DSMT4 的方向分别为 轴, 轴的正方向, 以过点 垂直于平面 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 , 则 , ,向量 , 平面 的一个法向量为 , 设直线 与平面 所成的角为 , 则 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点睛】 本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题. 2．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】 要证线面平行，先证线线平行 建系，利用法向量求解。 【详解】 （1）连接ME，BC ∵M，E分别为B1B，BC的中点 ∴ 又∵ ∴A1DCB1是平行四边形 ∴ ∴ ∴NDEM是平行四边形 ∴NM∥DE 又NM 平面C1DE ∴NM∥平面C1DE (2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz 则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1， ，2） 设平面A1MD的法向量为 则 ∴ 解得 又 ∴ ∴AM与平面A1MD所成角的正弦值 . 【点睛】 要证线面平行，可证线线平行或面面平行。 求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。 3．如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小. (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小. 【答案】（1）45°.（2）30°. 【分析】 （1）以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设 =(m,m,1)(m>0), 由< , >=60°,利用坐标运算可得m，进而可得cos< , >，从而得解； （2）平面AA′D′D的一个法向量是 =(0,1,0),由cos< , >即可得解. 【详解】 (1)如图所示, 以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系, 设DA=1.则 =(1,0,0), =(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设 =(m,m,1)(m>0), 由已知< , >=60°,由 =| || |cos< , >,可得2m= .解得m= , 所以 = . 因为cos< , >= 所以< , >=45°,即DP与CC′所成的角为45°. (2)平面AA′D′D的一个法向量是 =(0,1,0), 因为cos< , >= 所以< , >=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°. 【点睛】 本题主要考查了利用空间向量处理线线角和二面角，属于基础题. 4．如图，四棱锥 中， 是正三角形，四边形 是菱形，点 是 的中点. （I）求证： // 平面 ； （II）若平面 平面 ， ， 求直线 与平面