专题4 空间向量法求空间距离知识点与典型例题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题4：:向量求空间距离知识点与典型例题（解析版） 空间两点之间的距离 1．已知直三棱柱 中， ， 为 中点， 为 中点，求 【答案】 【分析】 根据题意建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式计算出 . 【详解】 建立空间直角坐标系如图所示： 根据条件可知： ， 所以 . 【点睛】 本题考查空间线段长度计算，建立空间直角坐标系，将长度计算转化为坐标计算，难度较易.已知 ，所以 . 2．已知正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， （1）求正方体各顶点的坐标； （2）求A1C的长度． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】 （1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标； （2）利用空间中两点间距离公式直接求解即可. 【详解】 （1）如图，∵正方体的棱长为2， ∴A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，2，2），D（2，0，2）， A1（0，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0），D1（2，0，0）． （2）A1C的长度|A1C|= =2 ． 【点睛】 本题主要考查了空间点的坐标及两点间距离公式的求解，属于基础题. （2）点Q到直线 距离 若Q为直线 外的一点, 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ，则点Q到直线 距离为 3．设 为矩形 所在平面外的一点，直线 平面 ， ， ， .求点 到直线 的距离. 【答案】 . 【分析】 由于 在 上的射影长为 ，结合已知条件可求出其值为 ，然后利用勾股定理可求出点 到直线 的距离 【详解】 解：因为 平面 ，所以 ， 所以 ， 因为四边形 为矩形，所以 , 所以 , 因为 ， ， 所以 在 上的射影长为 ，又 ， 所以点 到直线 的距离 . 故答案为： 4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离. 【答案】 【分析】 根据题设建立空间直角坐标系，写出 的坐标得到 的方向向量，然后根据空间点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1). 直线A1C1的方向向量 =(-4，3，0)， =(0，3，1)，所以点B到直线A1C1的距离 . 【点睛】 本题考查空间中点到直线的距离，重点是利用向量法求解，属于基础题. ⑵点A到平面 的距离 若点P为平面 外一点，点M为平面 内任一点，平面 的法向量为 ，则P到平面 的距离就等于 在法向量 方向上的投影的绝对值. 即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5．如图所示，正方形 的边长为4， 平面 ，且 ， ， 分别为 ， 的中点，求点 到平面 的距离． 【答案】 【分析】 解法1：由于 为正方形且 ， 为中点，所以，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，故作图，并利用锐角三角函数进行求解. 解法2：建立空间直角坐标系，然后，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】 解法1 ∵ 为正方形且 ， 为中点，所以，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离．过点 作 交 于点 ，易证 平面 ． ∴ ．又 ，∴ 平面 ． 在 中，如图所示， ， ，∴ ． ∴ ． 解法2 建立如图所示的空间直角坐标系，则点 ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ，则 ， ， ． 设 为平面 的一个法向量， 由 ，即 ． 解方程组，得 ，∴ ． 所以点 到平面 的距离 ． 【点睛】 本题考查点到面的距离，常用直接作出垂线段、转移点的位置或利用体积求解，当然还有向量工具，本题也可以利用体积法求解，属于基础题. 6．如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的，其中 . 求点 到平面 的距离. 【答案】见详解 【分析】 用空间向量的方法先求出平面 的法向量，即可由距离公式求解. 【详解】 设 为平面 的法向量，显然 不垂直与平面ADF,故可设 由 得 ,即 ,所以 ， 所以 又 ,设 与 的夹角为 ，则 到平面 的距离为 . 【点睛】 本题主要考查空间距离问题，属与常考题型. ⑶直线 与平面 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 7．如图，四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）取 的中点 ，连接 ､ ，易证四边形 为平行四边形，故 ，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）由 平面 ，知点 到平面 的距离即为所求.设 ，取