专题3 空间向量法求角基础知识与典型例题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题（解析版） ⑴求异面直线所成的角 已知 为两异面直线，A，C与B，D分别是 上的任意两点， 所成的角为 ，则 1．已知棱长为2的正方体 ，点M、N分别是 和 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出图中M、N的坐标； (2)求直线AM与NC所成角的余弦值. 【答案】(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2) ． 【分析】 (1)根据正方体的棱长，直接写出坐标； (2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值． 【详解】 (1)由于正方体 的棱长为2. 由题意知A（2，0，0），B（2，2，0），∴M（2，1，2）， C（0，2，0），∴N（2，2，1）. (2)由(1)可知 ， （2，0，1）， 设直线AM与CN所成的角为θ， 则cosθ＝|cos |＝| | ． ∴直线AM与CN所成的角的余弦值是 ． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题． 2．如图,三棱柱 中,平面 平面 ,且 , ,求异面直线 与 所成角的余弦值. 【答案】 【分析】 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 利用向量法求异面直线 与 所成角的余弦值. 【详解】 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , 所以 . 设所求的角为 , 则 , 即异面直线 与 所成角的余弦值为 . 【点睛】 (1)本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（平移法、补形法） 证（定义） 指 求（解三角形）,方法二：（向量法） ，其中 是异面直线 所成的角， 分别是直线 的方向向量. ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，　则 为 的余角或 的补角 的余角.即有： 3．如图，正方体 中， 是 的中点，求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】 . 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 .设平面 的法向量为 ， EMBED Equation.DSMT4 令 ，则 ， . 故 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 本题考查了利用空间向量线面夹角公式的应用，考查了数学运算能力. 4．如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,点 是 的中点,连接 ． （1）证明:平面 平面 ; （2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】 （1）由 是等边三角形, ,得 ．再证明 , ,从而和证明 平面 ,故平面 平面 得证． （2）作 ,垂足为 连接 ．由 ,证得 EMBED Equation.DSMT4 结合二面角 为 ,可得 , , .建立空间直角坐标系,求出点的坐标则 , ,向量 ,即平面 的一个法向量 ,运用公式 和 ,即可得出直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】 解:（1）证明:因为 是等边三角形, , 所以 ,可得 ． 因为点 是 的中点,则 , , 因为 , 平面PBD, 平面 , 所以 平面 ,因为 平面 , 所以平面 平面 ． （2）如图,作 ,垂足为 连接 ． 因为 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为二面角A-BD-C的平面角． 由已知二面角 为 ,知 ． 在等腰三角形 中,由余弦定理可得 ． 因为 是等边三角形,则 ,所以 ． 在 中,有 ,得 , 因为 ,所以 ． 又 ,所以 ． 则 , ． 以 为坐标原点,以向量 EMBED Equation.DSMT4 的方向分别为 轴, 轴的正方向, 以过点 垂直于平面 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 , 则 , ,向量 , 平面 的一个法向量为 , 设直线 与平面 所成的角为 , 则 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点睛】 本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题. ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角. 如图： 求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角 根据具体图形确定 是锐角或是钝角： 如果 是锐角，则 ， 即 ； 如果 是钝角，则 ， 即 . 5．如图所示， 平面ABCD，四边形AEFB为矩形， ， ， ． （1）求证： 平面ADE； （2）求