专题2 空间向量法证平行垂直基础知识及例题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题2：向量法证平行垂直基础知识及例题（解析版） 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量；与 平行的任意非零向量也是直线 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面 的法向量为 ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标 ． ④根据法向量定义建立方程组 . ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量. 例1：在空间直角坐标系中,已知 , ,试求平面ABC的一个法向量. EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ∥ ，即 . 例2： 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. ⑵线面平行。设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ，即 . 例3：如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， . 证明： 平面 . 【答案】证明见解析. 判断 为平面 的一个法向量，由 ，且 平面 ，利用线面平行的判定定理即可证出. 【详解】 如图，以 为坐标原点，线段 的长为单位长度， 以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 . 根据题意， ， ， ， 故有 ， ，所以 为平面 的一个法向量. 又因为 ，且 ， 即 ，且 平面 ，故有 平面 . 【点睛】 本题考查了空间向量法证明线面垂直、线面平行，考查了考生的基本运算能力，属于基础题. ⑶面面平行。若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ∥ ，只需证 ∥ ，即证 . 例4：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD. 【答案】证明见解析 【分析】 首先建立空间直角坐标系，利用坐标法证明MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，最后根据面面平行判定定理得证. 【详解】 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N ，E ，F(1，3，4). ∴ ， . ∴ .∴MN∥EF，AM∥BF. ∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M，∴平面AMN∥平面EFBD. 【点睛】 本题考查面面平行的判定，关键是通过建立空间直角坐标系来证明线面平行，属于基础题. 用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 . 例4．如图，空间四边形 中， .求证： . 【答案】证明见解析 【详解】 试题分析：利用三个不共面的向量 作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直. 试题解析：∵ ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ （1） 同理:由 得 （2） 由（1）－（2）得 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 例5：如图，已知正三棱柱 - 的底面边长为2，侧棱长为 ， 点E在侧棱 上，点F在侧棱 上，且 , ． 求证： ； 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则由已知可得 （Ⅰ） ⑵线面垂直 ①（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ∥ ，即 . ②（法二）设直线 的方向向量是 ，平面 内的两个相交向量分别为 ，若 7．在立方体 中， 为 与 的交点， 为 的中点，求证： 平面 . 【答案】证明见解析 【分析】 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，设立方体 的棱长为 ，计算出平面 的一个法向量 ，证明出 ，由此可证明出 平面 . 【详解】 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，设立方体 的棱长为 ， 则 、 、 、 、 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，令 ，可得 ， ，则 ，因此， 平面 . 【点睛】 本题考查利用空间向量法证明线面垂直，解答的关键就是求出平面的法向量，考查推