专题1 空间向量法平行和垂直的证明基础知识和典型例题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题1：平行和垂直的证明基础知识和典型例题（解析版） 一. 平面基本性质即三条公理 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线 公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 二．直线与直线的位置关系 共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况： 在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A 平行——没有公共点 符号 a∥α 说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： 1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．求证： 平面 . 【答案】证明见解析. 【分析】 通过三角形的中位线证得 ，由此证得 平面 . 【详解】 因为 分别是 的中点， 所以 是三角形 的中位线， 所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 2．已知正方体 图，求证：平面 平面 . 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 先证明四边形 为平行四边形，可得 平面 ，同理 平面 ，可得证明. 【详解】 证明： 为正方体， . . ∴四边形 为平行四边形. . 又 平面 ， 平面 , ∴ 平面 . 同理 平面 . 又 ， ∴平面 平面 . 【点睛】 本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，属于中档题. 2．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: 例2 如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1. 【答案】见解析 【分析】 利用正方体的性质，只要证CC1∥平面BEE1B1，结合线面平行的性质可证. 【详解】 如图所示，∵CC1∥BB1， ∴CC1∥平面BEE1B1. 又∵CC1⊂平面CEE1C1，平面CEE1C1∩平面BEE1B1＝EE1， ∴CC1∥EE1， 由于CC1∥BB1， ∴BB1∥EE1. 【点睛】 本题考查了正方体中的线线平行的判定，关键是正确利用正方体的性质得到CC1∥平面BEE1B1，再结合线面平行的性质定理可证. 4．已知平面 和 相交于直线 ，直线 不在 内，且 ， ，求证： . 【答案】证明见解析 【分析】 作出过直线 的平面，由线面平行的性质，即可证明. 【详解】 证明：如图，过 作平面 交 于 ，交 于 . 因为 ，所以 . 同理 ，所以 . 又 ，所以 . 因为过 的平面 交 于 ， 所以 .所以 // . 【点睛】 本题考查线面平行的性质，属基础题. 3．直线与平面垂直 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号： 5．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC． 【答案】详见解析. 【分析】 根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明 与平面 内的两条相交直线垂直即可,而 , 满足定理条件. 【详解】 证明: C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径， , 平面 平面 , , 平面 平面 平面 . 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的判定,考查