专题13 由面积产生的函数关系问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题13 由面积产生的函数关系问题 模块一：直接利用面积公式构造函数关系式 1、 常见几何图形面积公式： （1） 三角形面积公式：； （2） 平行四边形面积公式：； （3） 梯形面积公式：； （4） 圆的面积公式：． 2、 解题思路： （1） 先确定所求面积的几何图形的形状； （2） 确定求面积时所需的线段，并且添加必要的辅助线； （3） 根据题意利用相似或锐角三角比或勾股定理等方法分别表示出线段的长，某些线段是含有未知数的代数式； （4） 根据面积公式求出解析式，并根据题意确定定义域． 例题1..（2020金山二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心，PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），∠CPQ的角平分线与AC相交于点D． （1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形； （2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长． 解析： （1）证明：∵PB=PQ，∴∠B=∠PQB，∴∠CPQ=∠B+∠PQB=2∠PBQ，--------（1分） ∵PD平分∠CPQ，∴∠DPQ=∠CPD=∠CPQ=∠PQB=∠B，∴DP∥BQ，-----------（1分） ∵DQ=PB，PB=PQ，∴QD=QP，∴∠QPD=∠QDP，∴∠CPD=∠QDP，∴DQ∥PB，（1分） ∴四边形BQDP是平行四边形-------------------------------------------------------------------（1分） （2）作PE⊥BQ，QF⊥DP，垂足分别为E、F， ∵DP∥BQ，PE⊥BQ，QF⊥DP，∴PE=QF， ∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，sinB=， 在△BEP中，∠BEP=90°，∴PE=PB·sinB=，---------------------------------------------（1分） ∵DP∥BQ，∴，∴，∴，---------------------（1分） ∴，即（）.--------------------------（2分） （3）∵PE⊥BQ，∴BE=EQ=，∴AQ=， ∵DP∥BQ，∴，∴，∴，---------------------------------（1分） 在△ABC中，cosA=， 如果DQ=DA，作DM⊥AQ，垂足为M，则， 在△AMD中，∠AMD=90°，， ，解得，-------------------------------------------------------------------（2分）如果DQ=QA，作QN⊥AD，垂足为N，则， 在△ANQ中，∠ANQ=90°，， ，解得，----------------------------------------------------------（2分） 综上所述，如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，PB的长为4或者．-------（1分） 例题2.（2020崇明二模）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH． （1）求证：△HDO≌△EAO； （2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长． 【整体分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，AO＝OD，∠EOH＝90°，OE＝OH，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到AN＝BN＝ON＝AB＝2，根据勾股定理得到OF＝＝＝，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论； （3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【满分解答】 解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD， ∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH， ∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）； （2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2， ∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x， ∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣， ∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝， ∴； （3）①当A