黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021届高三上学期第四次验收考试理科数学试题

哈三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试 理科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 已知直线 与直线 垂直，则实数 （ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 3. 已知 ， 是两个平面， ， ， 是三条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【答案】C 4. 若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】B 5. 若圆 与圆 有三条公切线，则 值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】C 6. 若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为 ，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7. 已知直线 ： （ ）与圆 ： （ ）相交于 ， 两点，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 8. 兰州牛肉面是人们喜欢快餐之一．现将体积为 的面团经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计） A. B. C. D. 【答案】D 9. 已知函数 （ ， ）图象与 轴的两个交点的最短距离为 .若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的新函数图象关于 中心对称，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 10. 已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为偶函数，当 ， 时， ，则方程 在 ， 上的实根之和为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 11. 球 的球面上有四点 ， ， ， ，其中 ， ， ， 四点共面， ， ，平面 平面 ，则三棱锥 的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 12. 对于实数 ，定义 表示不超过 的最大整数，已知正项数列 满足： ， ，其中 为数列 前 项和，则 （ ） A. 20 B. 19 C. 18 D. 17 【答案】C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 ， 是两个不共线的向量，若向量 与 共线，则实数 __________． 【答案】 14. 已知圆C经过 两点，圆心在 轴上，则C的方程为__________． 【答案】 . 15. 正方形 的边长为2，点 ， 分别为边 ， 的中点，将此正方形沿 ， 折起，使点 ， 重合于点 ，则点 到平面 的距离为______. 【答案】 16. 将6个半径都为1钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为______. 【答案】 三、解答题：共70分.第17~21题为必考题，每题12分.第22、23题为选考题，共10分，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 . （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形，点 是 的中点， . （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 19. 已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， . （1）求证：数列 为等差数列； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1）证明见解析；（2） . 20. 四棱柱 中，底面 为平行四边形，平面 平面 ， ， 为 中点， ， . （1）求证： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 21. 已知函数 （ ）. （1）若 ，求函数 在 处的切线； （2）若 有两个零点 ， ，求实数 的取值范围，并证明： . 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系内，直线 过点 ，且倾斜角 .以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 . （1）求圆 的直角坐标方程； （2）设直线 与圆 交于 ， 两点，求 值. 【答