专题10 两圆相切的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题10 两圆相切的存在性问题 模块一：以函数为背景的两圆相切问题 1、 知识内容： （1）如果两圆的半径长分别为和，圆心距为，那么两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含． 注：两圆相切包含外切和内切两种情况． （2）设、，则A、B两点间的距离公式为：． 2、 两圆相切本质：线段的和差； 3、 解题思路： （1） 利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径； （2） 根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）； （3） 根据题意对所求的解进行取舍． 例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，其中点A 的坐标为（，0），点D在线段AB上，AD = AC．如果以DB为半径的⊙D与⊙C外切，求⊙C的半径． 【解析】∵抛物线经过点A（-3，0）， ∴， 解得：． ∴所求抛物线的关系式为：． ∴抛物线的对称轴是直线． 当时，，即得C（0，-4）． 又由A（-3，0），得．∴AD = AC = 5． 又由A（-3，0），得D（2，0）， ∴． 又由直线为抛物线的对称轴，得B（5，0）．∴BD = 3． 设圆C的半径为r．∵圆D与圆C外切， ∴CD = BD + r． 即得：． 解得：． ∴圆C的半径长为． 【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可． 例2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，其中OA = AB= BC = 4， ． （1）若点P在第四象限，且与相似，求满足条件的所有点P的坐标； （2）在（1）的条件下，若与以OC为直径的相切，请直接写出的半径． 【解析】（1）∵tan∠BCO=，∴∠AOC =∠BCO = 60°， ∵等腰梯形OABC，∴AB // CO，∴∠CBA= 120° =∠BAO = 120°． 在中，∵OA = AB = BC = 4， ∴∠OBA=∠BOA = 30°，OC = 8． 要使∽，则必为等腰三角形，存在两种情况． 如图1，当PO = PC时，则∠OPC = 120°． ∴∠POC =∠PCO = 30°，∴P（4，）． 如图2，当OC = CP时，则∠OCP=120°．∴∠COP=∠CPO=30°， ∵OC = PC = 8，∴∠PCD = 60°，∴PD = 4，CD = 4，∴P（12，）， 综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（4，）或（12，）； （2）的半径和．如图1，∵PD=， ∴的半径为或．如图2，取OC中点Q，作． ∵∠POC = 30°，∴， ∵P（12，），∴，∴， ∴，∴的半径为或． 综上，的半径为或或或． 【总结】本题主要考查平面直角坐标系背景下的相似问题及相切问题，注意进行分类讨论，并对相应的解题方法进行归纳整理． 例3.如图，线段PA = 1，点D是线段PA延长线上的点，AD = a（a > 1），点O是线段 AP延长线上的点，，以O圆心，OA为半径作扇形OAB，，点C是弧AB上的点，联结PC、DC． （1）联结BD交弧AB于E，当a = 2时，求BE的长； （2）当以PC为半径的和以CD为半径的相切时，求a的值； （3）当直线DC经过点B，且满足时，求扇形OAB的半径长． 【解析】（1）过点作，垂足为．设，则，； ∵，即，解得：； ∴，，； 当时，可得：，，∴； 易得∽，∴，又，∴，∴． （2）当点与点重合时，． 当点与点不重合时，联结，∵，∴； 即，又，∴∽，∴，∴； 又，∴；∵⊙和⊙相切，是圆心距， ∴⊙和⊙相只能内切；∴； 即；解得：． （3）联结、． ∵∽，∴；∵，∴； ∵，∴，即． ∵，，∴； 又，∴∽；∴； ∴，∴；∴是等边三角形，∴； 在中，，， 即，． 即扇形OAB的半径长为． 【总结】本题主要考查扇形背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转变为数量关系进行计算，另外第（3）问中注意对所给出的条件进行分析，从而找出相似的三角形进行求解． 模块二：以几何图形为背景的两圆相切问题 1、 知识内容： （1）如果两圆的半径长分别为和，圆心距为，那么两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含． 注：两圆相切包含外切和内切两种情况． 2、 两圆相切本质：线段的和差； 3、 解题思路： （1） 根据动点的运动方式表示出相关线段的长度； （2） 利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系； （3） 根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程； （4） 求出方程的解，并根据题意进行取舍． 例1.（2020宝山二模）如图7，已知：在直角中，