专题四 极值点偏移问题-2021年新高考数学导数专题篇复习精讲练导学案

专题四 极值点偏移问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【例1】已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，且，证明：. 【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析. 【分析】 （1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值； （2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论. 【详解】 （1）函数的定义域为，. 当时，，在上是减函数，所以在上无极值； 当时，若，，在上是减函数. 当，，在上是增函数， 故当时，在上的极小值为， 无极大值. （2）当时，， 由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点， 又，为函数零点，所以，要证，只需证. ∵ ，又 ∵，∴， 令，则， ∴在上是增函数，∴，∴， ∴，即得证. 【练习1】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象与直线交于，两点，记，两点的横坐标分别为，且，证明：. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）对函数求导得，再对分两种情况讨论，即可得答案； （2）利用分析法要证成立，只需要又，则只需要证明，即证，构造函数，，只需证，即可得答案； 【详解】 解：（1）， 时，，在递增， 时，令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增； （2）函数的的导数，若，则，还是单调递增， 则不满足条件，则由得，由得， 即当时，还是取得极小值同时也是最小值 ∵有两个根，∴，即，则，即 要证，则只需要又，则只需要证明，即证， 令，， 则， ， 即在上单调递减， 即则命题成立. 【练习2】已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知是函数的极值点，若，求证：(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程即可；（2）利用导数研究有极值点；结合已知条件构造，应用导数研究其单调性及即可证. 【详解】 （1）由，有 ∴，而，可知曲线在点处的切线方程为 （2）由（1）得，令， 则在上恒成立，即在上单调递增，而，知当时，；当时，， ∴当函数在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极大值. ∵，不妨设， 令，则 因为，所以，即有， ∴，即函数在上单调递减，而， 所以在上恒成立，即在上恒成立，有在上恒成立，又，所以， 因为且，而函数在上单调递增，所以，即，而，所以得证. 【练习3】已知函数 （1）若存在极值点1，求的值； （2）若存在两个不同的零点，求证： 【答案】(1) ；(2) 见解析. 【详解】 试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a. (2)是典型的极值点偏移问题，先证明,再利用在上的单调性，即可得证. 试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以. (2) ①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意； ②当时，由得， 当时，，所以为增函数， 当时，，所为减函数， 所以当时，取得极小值 又因为存在两个不同零点，所以，即 整理得， 作关于直线的对称曲线， 令 所以在上单调递增， 不妨设，则， 即， 又因为且在上为减函数， 故，即，又，易知成立， 故. 【练习4】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数，讨论的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设，则有，构造函数，，利用导数判断出函数单调递增，从而可得，再由即可求解. 【详解】 解：（1）易得函数的定义域为. 对函数求导得：. 当时，恒成立，即可知在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 此时在上单调递增，在上单调递减. ，又，， 不妨设，则有， 令，， . 当时，，单调递增， ，， ， 又，， ，，在上单调递减， ，即. 1 $$专题四 极值点偏移问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【例1】已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，且，证明：. 【练习1】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象与直线交于，两点，记，两点的横坐标分别为，且，证明：. 【练习2】已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知是函数的极值点，若，求证：(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【练习3】已知函数 （1）若存