专题三 有解问题-2021年新高考数学导数专题篇复习精讲练导学案

专题三 有解问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【例1】已知函数. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）. 【分析】 （1）求导得在区间上单调递增，进而可得答案； （2）由题得，求导得，再分和两种情况讨论求解即可. 【详解】 (1)由题可知的定义域为 函数， 所以函数在区间上是增函数. 在区间上的最大值为，最小值为. (2)，令， . 当时，.，显然有解. 当时，由得， 当时，， 当时，， 故在处取得最大值. 若使有解，只需 解得. 结合，此时a的取值范围为. 综上所述，a的取值范围为. 【练习1】已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上存在一点，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【分析】 （1）求出的导数，利用导数即可求出单调区间； （2）不等式等价于在上的最小值小于零，求出的导数，讨论的范围，结合的单调性即可求出. 【详解】 （1）当时， 则 当时，，为减函数 当时，，为增函数 故的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）在上存在一点， 使不等式成立， 等价于在上有解， 即函数在上的最小值小于零， ， ①当时，即时，在上单调递减， 所以的最小值为， 由， 可得，， 故； ②当时，即时，在上单调递增， 所以的最小值， 由， 可得； ③当，即， ， 所以不成立， 综上：实数的取值范围是. 【练习2】已知函数，（为自然对数的底）. （1）讨论的极值； （2）当时，若存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1），无极大值；（2）. 【分析】 （1）对函数进行求导得，令，再列表，从而求得函数的极值； （2）利用导数研究函数的最值，对分两种情况讨论，即和，即可得答案； 【详解】 （1）依题，， ，，的变化如下： 0 ↘ 极小值 ↗ 列表分析可知，，无极大值. （2）对于，可得. 因此，当时，单调递减；当时，单调递增. （1）当时，. 依题意可知. 构造函数：（），则有. 由此可得；当时，；当时，， 即在时单调递减，单调递增. 注意到：，，因此. 同时注意到，故有. （2）当时，. 依据题意可知. 综上（1）、（2）所述，所求实数取值范围为. 【练习3】已知函数. （1）求函数的极小值； （2）关于的不等式在上存在解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值； （2）由参变量分离法得出在区间上有解，令，可得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，进而可得出实数的取值范围. 【详解】 （1）因为，所以，. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为； （2）由得， 令，由在有解知，， ， 令，则. 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在区间上单调递增， ，， 所以，，使得，即， 且当时，，，此时函数单调递减，则； 当时，，，此时函数单调递增，则. 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 【练习4】已知，函数，(是自然对数的底数). （1）讨论函数极值点的个数； （2）若对任意的恒成立，求实数的值； （3）在第（2）小题的条件下，，，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点；（2）；（3）. 【分析】 （1）求出导函数，分类讨论确定正负，得的单调性，得极值点； （2）求出的最小值，由最小值大于或等于0可得； （3）设，且 求得，且，设，且，，，分类讨论，时，说明不合题意，时，可证明在上递减，从而有解． 【详解】 （1）因为，所以， 当时，对，， 所以在是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数没有极值点； 当时，，令，解得， 若，则，所以在上是减函数， 若，则，所以在上是增函数， 当时，取得极小值； 函数有且仅有一个极小值点， 所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点. （2）因为对任意的恒成立. 当时，，不合题意舍去. 当时，由（1）可知当时，取得极小值；因为对任意的恒成立，所以 又因为且，则，可得： （3）因为：，，即不等式在区间内有解. 设，且 所以，且 设，且 则，且在上是增函数， 所以 当时，，所以在上是增函数， ，即，所以在上是增函数， 所以，即在上恒成立. 当时，因为在是增函数， 因为，， 所以在上存在唯一零点， 当时，，在上单调递减， 从而，即，所以在上单调递减， 所以当时，，即. 所以不等式在区间内有解 综上所述，实数的取值范围为. 1 $$专题三 有解问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：