专题二 不等式证明及恒成立问题-2021年新高考数学导数专题篇复习精讲练导学案

专题二 不等式证明及恒成立问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【例1】已知，函数，（）. （1）讨论函数极值点的个数； （2）若，当时，求证：. 【答案】（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点； （2）证明见解析. 【分析】 （1）求得导数，分和两种情况，求得函数的单调性，结合函数极值点的定义，即可求解； （2）构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】 （1）因为，所以， 当时，对，， 所以在是减函数，此时函数不存在极值； 当时，，令，解得， 若，则，所以在上是减函数， 若，则，所以在上是增函数， 当时，取得极小值， 函数有且仅有一个极小值点， 所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点. （2）设，且， 所以 ，且 设 ，且 则，且在上是增函数， 所以 则在上是增函数， ，即，所以在上是增函数， 所以，即在上恒成立. 【练习1】已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）证明：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据解得，根据解得； （2）利用导数先证在上成立，再将所证不等式转化为证，即在上成立，构造函数利用导数可证不等式成立. 【详解】 （1）由已知得，∴. ，. （2）设，则，由得；由得. ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得最小值， ∴当时，，所以， ∴要使在上成立，只需使在上成立，即在上成立， 设，则，由得，由得. ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得最小值，即在上成立 ∴原不等式成立. 【练习2】已知函数（，其中为自然对数的底数）.若函数有两个不同的零点，. （1）当时，求实数的取值范围； （2）设的导函数为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求得导数，分和两种情况讨论求得函数的单调性和最小值，结合最小值和题设条件，即可求解实数的取值范围； （2）由两式相减得到，求得设，得到， 进而得到，结合的单调性，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数，可得， 当时，，函数在上单调递增，最多有1个零点，不合题意. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以当，函数取得最小值，最小值为， 当时，，函数没有零点； 当时，，函数有只1个零点； 当时，，， 又，此时存在，使得， 令，，则，所以在单调递增， 所以，所以当时，， 所以， 所以存在，使得， 故此时函数有两个不同的零点，. 综上可得：当时，函数有两个不同的零点，. （2）由题意得两式相减，得， 设，， 则， 令，， 因为， 所以在上单调递减，，即. 【练习3】已知函数. (1)若只有一个极值点，求的取值范围. (2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求导，令，则.令，解不等式组即得解； （2）只需证，设，函数，证明即得证. 【详解】 (1)解：， 令，则.令， 要使函数只有一个极值点，则需满足，即； (2)证明：因为， 所以， 因为存在两个极值点，所以即 不妨假设，则 要证，即要证， 只需证， 只需证， 即证 设，函数， 因为，故，所以，即， 故在上单调递减，则 又因为，所以，即， 从而得证. 【练习4】已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）利用导数求的最大值小于零即可，或恒成立，等价于，，然后构造函数，利用导数求其最大值即可； （3）由(2)知，当时，恒成立，即(仅当时等号成立)，当时，有，然后利用累加法可得，当时，有，再利用累加法可得，从而可证得结论 【详解】 （1） ①当时，，所以在上递增； ②当时，令，则， 当时，；当时，， 所以在区间上递增，在上递减. （2）方法1：构造函数 ①当时，由（1）在上递增，又，不符合题意，舍； ②当时，由（1）知在区间上递增，在上递减； 所以，解得：. 综上： 方法2：分离参数 恒成立，等价于， 设，，，令，，则 当时，；当时，， 所以在区间上递增，在上递减； 所以，所以： （3）由(2)知，当时，恒成立，即(仅当时等号成立) ①当时，，即； 所以，，，，……，； 上述不等式相加可得：， 即：， 即：，； ②当时，，即，即 所以，，，，……，； 上述不等式相加可得：， 即：， 即：，； 综上：当时，. 1 $$专题二 不等式证明及恒成立问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【例1】已知，函数，（）. （1）讨论函数极值点的个数； （2）若，当时，求证：. 【