专题一 零点问题-2021年新高考数学导数专题篇复习精讲练导学案

专题一 零点问题 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【例1】已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设，若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断. 【详解】 解：（1）当时，，， ，， ∴切线方程为即； （2）∵， ∴. ①当时，在上单调递增，在上单调递减. ∵，.∴在上有且只有一个零点. 取，使，且，则. 即有两个不同的零点. ②当时，，此时只有一个零点. ③当时，令，得或. 当时，，恒成立，∴在上单调递增. 当时，即.若或，则； 若，则. ∴在和上单调递增，在上单调递减. 当时，即.若时， 若，则. ∴在和上单调递增，在上单调递减 当时，∵， . ∴无零点，不合题意. 综上，有两个零点的取值范围是. 【练习1】已知函数，其导函数为，且. （1）求a的值； （2）设函数有两个极值点，，求b的取值范围，并证明过两点，的直线m恒过定点，且求出该定点坐标 （3）当时，证明函数在R上只有一个零点. 【答案】（1）；（2）；证明见解析；定点；（3）证明见解析. 【分析】 (1)由导数运算可得a的值； (2)由题设知，是方程的两个根，得，化简，同理可得，因此，直线m的方程是，整理可得定点坐标； (3)先得出，分和两种情况研究零点即可. 【详解】 解：(1)因为，， 所以，代入，得， 解得； (2)因为，所以，由题设知， 是方程的两个根，故有，解得， 因为，所以 ， 同理可得， 过两点，的直线m的方程是， 即，由，解得， 所以直线m横过定点； (3)由(1)可知， ， 当时，因为，所以， 故在区间上单调递增，又，， 且的图像在区间是不间断的，所以在区间上有唯一零点； 当时，， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，从而，故在上不存在零点. 综上，在R上有唯一零点. 【练习2】已知函数. （1）求的极值； （2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）. 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值； （2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【详解】 解：由题意可知函数的定义域为R. （1）因为. 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为. （2）因为， 所以为一个零点. 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”. 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值，时，，时，. 若方程有两个非零实根，则，即. 若，方程只有一个非零实根， 所以. 综上，. 【练习3】已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的零点个数. 【答案】（1）；（2）时有1个零点，时有2个零点. 【分析】 （1）由对数的真数大于0，可得定义域； （2）由，讨论，函数的单调性，即可得到所求零点的个数； 【详解】 （1）要使函数有意义，则，可得，所以函数的定义域为； （2）求得． 对函数求导得， 是增函数， 若，则有下表 0 0 0 极小值为0 在定义域上有且只有0一个零点； 若，在是增函数， 且， 存在唯一的，使得， 则有下表 0 0 极小值 ， 所以在有且仅有1个零点； 令，则， 0 0 极小值为=0 ，， ， ， 所以在有且仅有1个零点； 则在定义域上有且只有两个零点， 综上，时有1个零点，时有2个零点. 【练习4】已知函数． （1）若，讨论函数的单调性，并判断是否存在极值，若存在，则求出极值，若不存在，试说明理由； （2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，极小值为，无极大值；（2）． 【分析】 （1）当时，可得，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的极值，即可得解； （2）令可得，构造函数，利用导数分析函数的极值与单调性，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】 （1）由得， 所以，令得， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）由函数存在零点，令，即，可得 函数的定义域为， 令，， 当时，，当时，， 所以