专题09 面积的存在性问题-专题08 梯形的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题09 面积的存在性问题 在求面积时，除了最基本的面积公式外，还需要注意三角形的面积比与底边之比、高之比的关系．在压轴题中，往往是以函数为背景，此时则还需掌握好在坐标系中常用的割补法． 模块一：固定面积的存在性问题 1、 知识内容： 固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可． 2、 解题思路： （1） 根据题目条件，求出相应的固定面积； （2） 找到待求图形合适的底和高； （3） 列出方程，解出相应变量； 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． 例1.（2020黄浦区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6. （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果，求点F的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标. 【整体分析】 （1）先将抛物线表达式化为顶点式，得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6，可以得出A,B两点的坐标，进而可求出解析式. （2）利用S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解. （3）找出两等角所在的三角形，构造一组相似三角形求解. 【满分解答】 解：（1）将化为一般式得， ， ∴这条抛物线的对称轴为x=1. 又抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6， ∴根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-2，0),B(4，0). 将A点坐标代入解析式，可解得m= ∴所求抛物线的解析式为. （2）设点F的坐标为（t, t2+t+4），如图1可知 S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF =×2×t+×4×（t2+t+4）=10， 解得，t=1或t=2, ∴点F的坐标为或. （3）假设直线PF与y轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,连接CF， 则根据题意得∠FHC=∠EBF, 由（2）得点F的坐标为(2,4)，又点C坐标为(0,4), ∴CF∥x轴， 过点F作FG⊥BE于点G， 有△CFH∽△GFB. 在△BEF中，根据已知点坐标可以求得BE=BF=2，EF=2， 根据面积法可求得FG=,∴BG= 设直线FP的解释式为y=kx+b,则OH=b, ∴CH=4-b, ∴ ∴解得b=. 将点F的坐标（2,4）代入FP的解析式可得，k=, 即FP的解析式为y=x+, 令y=0,可得P点坐标为（-1,0）. 【点睛】此题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像与性质是关键与基础，另外涉及面积问题注意运用割补法；对于角度相等的存在性问题一般通过转化为相似来解决 例2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且，抛物线经过A、B两点． （1）求b、c的值； （2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径的圆记作⊙C， 以点A为圆心，r为半径的圆记作⊙A．若⊙C与⊙A外切，求r的值； （3）若点D在这个抛物线上，的面积是面积的8倍，求点D的坐标． 【解析】（1）∵A点坐标为（8，0），，∴OB = 6，∴B点坐标为（0，6）． 将A、B两点坐标代入解析式，解得：，； （2）∵CB⊥OB，∴C点坐标为（5，6）． ∴⊙C的半径为5，． ∴； （3）设D点横坐标为d，由题意可得，．∴． 又∵， ∴．∴D点坐标为或． 【总结】本题是二次函数的综合型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用外切间的数量关系确定圆的半径，在第（3）问中，要注意分类讨论． 例3.如图，二次函数的图像过点A（，0）、B（0，6），对称轴为直线，顶点为C，点B关于直线的对称点为D． （1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标； （2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求AE的长； （3）在二次函数的图像上是否存在点P，能够使？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵二次函数过（，0）对称轴为，∴二次函数过点（2，0）． 设二次函数为，将B（0，6）代入， 解得二次函数解析式为：． （2） 顶点C的坐标为（，8），点D的坐标为（，6），连接BD， 则． ∵AB的解析式为， ∴设E点为（e-6，e）． ∴． ∴e = 4． ∴E点坐标为（，4）．∴AE长为． （3）分情况讨论． ①若P在抛物线AC段上，由题意，则有PC // AB． ∴PC解析式为，可解得P点坐标为（，6）． ②若P不在抛物线AC段上，设PC与AB交于M． 由题意，得CM = AM．设M点坐标为（m，m+6）， ∴． 解得：， ∴M点坐标