专题08 梯形的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题08 梯形的存在性问题 梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。综合利用各个条件，才能求出最后的结果． 1、 知识内容： 梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：①AM//BC；②CM//AB，如图所示。 2、 解题思路： （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 分情况进行讨论； （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程； （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标； （5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． 注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等． 模块一：一般梯形的存在性问题 例1.（2019年上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式. 【答案】(l)抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1. 【分析】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为； （2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解. 【详解】(l)， 抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)， 抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)①设抛物线y＝x2－2x的“不动点”坐标为(t，t). 则t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3. 所以，抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). ②∵新抛物线的顶点B是其“不动点”，∴设点B的坐标为(m，m) ∴新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点为C(m，0) ∵四边形OABC是梯形， ∴直线x＝m在y轴左侧. ∵BC与OA不平行 ∴OC∥AB. 又∵点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)， m＝－1. ∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的， ∴新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1. 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可. 例2.在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，）． （1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； （2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标； （3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t > 3，如果和的面积相等，求t的值． 【解析】（1）将A、C代入抛物线解析式，解得抛物线解析式为：． 对称轴为：直线． （2）E点为（1，0），分情况讨论： ①AC // EF 直线AC的解析式为．∴直线EF的解析式为． ∴与对称轴的交点为（1，0），与E点重合（舍）． ②AF // CE 直线CE的解析式为，∴直线AF的解析式为． ∴与对称轴的交点为（1，4）．∴F点为（1，4）． 综上，F点为（1，4）． （3）抛物线顶点D为，与x轴另一交点B为（3，0）， 当和的面积相等（t > 3）时，有BC // DP． 直线BC的解析式为，∴直线DP的解析式为． 解得：P点为（5，0），即t的值为5． 【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结． 例3.在平面直角坐标系中，抛物线过A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴； （2）分别联结AD、DC、CB，直线y = 4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值； （3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标． 【解析】解：（1