专题09 三角形（二）-2020年中考母题题源解密（上海专用）

专题09 三角形（二） 直角三角形、垂直平分线、角平分线 【母题来源1】（2019•上海中考真题）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　 　． 【母题来源2】（2018•上海中考真题）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为　 　． 【母题来源3】（2014•上海中考真题）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为　 　（用含t的代数式表示）． 一、直角三角形 1. 直角三角形的概念： ①按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 ② 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 3、勾股定理 ①直角三角形直角边与斜边之间的大小关系 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边. ②勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. ③勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 二、垂直平分线与角平分线 1、线段的垂直平分线 ①定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． ②线段的垂直平分线定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． ③线段的垂直平分线逆定理 　　和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 注意： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合． 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心—外心． 2、角的平分线的性质 　　①角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. ②角的平分线的逆定理 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 一、单选题 1．（2018·上海金山·初三二模）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（2020·海南初三一模）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 3．（2020·石家庄市第二十八中学九年级二模）如图，有一锐角三角形纸张，其中，现将折至，使点与点重合，之后将三角形还原，再将折至，使点与点重合，之后将三角形还原．若两次的折线交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（2017·湖南中考模拟）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 5．（2020·湖南长沙·八年级月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠