专题 极坐标与参数方程 知识点及典例

1 专题十四------极坐标与参数方程 一、极坐标系的概念 1、极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做_________，自极点O引 一条射线ox,叫做________；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取 弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何 背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平 面直角坐标系都是平面坐标系. 2、极坐标 设 M 是平面内一点,极点O与点 M 的距离| |OM 叫做点 M 的__________，记为  ；以极轴ox为 始边,射线OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的________，记为 .有序数对( , )  叫做点 M 的极坐 标,记作 ( , )M   . 【一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.】 ①特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为(0， )( )R  .和直角坐标不同,平面内一个点的极坐 标有无数种表示. ②如果规定 0,0 2     ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐 标( , )  表示；同时,极坐标( , )  表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在 两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是( , )x y ,极坐标是( , )( 0)    ,于是极坐 标与直角坐标的互化公式如表: 点 M 直角坐标( , )x y 极坐标( , )  互化公式 cos sin x y        2 2 2 tan ( 0) x y y x x          在一般情况下,由 tan 确定角时,要根据点 M 所在的直角坐标象限来确定角的大小. 2 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 圆心为( ,0)r ,半径为r 的圆 圆心为( , ) 2 r  ,半径为r 的圆 过极点,倾斜角为 的直线 过点( ,0)a ,与极轴垂直的直线 过点( , ) 2 a