四川省达州市普通高中2021届高三第一次诊断性测试数学试题（理科）

理科数学答案 第 1 页(共 5 页) 达州市普通高中 2021 届第一次诊断性测试 理科数学参考答案 说明： 本解答给出了一种或几种解法供参考，考生的解答可能与本解答不同。 一、选择题： 1. B 2. D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.A 8. D 9. A 10. B 11.D 12.D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．12 14． 25 24  15． 2 9 16． (1 2]， 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1) ∵ 1 2n na a   ，∴ na 是公差为 2 的等差数列. ∵ 1 a ， 4 a ， 13 a 成等比数列，∴ 2 4 1 13 a a a ， 2 1 1 1 ( 6) ( 24)a a a   ， ∴ 2 2 1 1 1 1 12 36 24a a a a    ， 1 3a  ， ∴ 2 1 n a n  . (2)∵ 1 1 n n n b a a   ，∴ 1 1 1 1 ( ) (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3 n b n n n n        . ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 ( ) ( ) 2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 27 n T n n n              . ∴ 1 1 8 3 2 3 27n    ， 1 1 2 3 27n   ， ∴ 12n  . 18．解：(1)证明：由 BCAB  ， DADC  知 BD 为 AC 的中垂线，∴ BD AC ， 又 MD  平面 ABCD ，∴ MD AC ，又 DM DB D ， ∴ AC 平面 MBD . ∵ P 为 MB 上任意一点，∴ DP  平面 MBD ， ∴ DP AC . (2)以 O 为坐标原点， OA所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴，过 O 与 DM 的平行 线为 z 轴，如图建立空间直角坐标系. 由题意得，  60CBO ． ∵ 4CB  ， COBO  ， ∴ 2OB  , 32OC . ∵ 2 7CD  ，∴ 2 2 4OD CD CO   . ∵ MD  平面 ABCD ，∴直线 MB 与平面 ABCD 所成角为 MBD . ∵ 2 5 cos 5 MBD  ，∴ 1 tan 2 MBD  ，∵ 6BD  ，∴ 3MD  . ∴ (2 3 0 0)A ，， , ( 2 3 0 0)C  ，， ， (0 4 3)M ， ， ， (0 2 0)B ，， . 理科数学答案 第 2 页(共 5 页) 由条件可设 MP MB ，设 ( , , )P m n k ，∴ ( , 4, 3) (0, 6, 3)m n k     ， ∴ 0 6 4 3 3 m n k          ，∴ (0, 6 4, 3 3 )P     ， ∴ (2 3, 4 6 , 3 3)PA     ， ( 2 3, 4 6 , 3 3)PC      ， 设平面 PAC 的法向量 ( , , )x y zm ，则 ∴ 0 0 PA PC       m m ，∴ 2 3 (4 6 ) (3 3) z 0 2 3 (4 6 ) (3 3) z 0 x y x y                  ，令 1y  ， ∴ 0 1 6 4 3 3 x y z             ，∴ 6 4 (0,1, ) 3 3      m ， 取平面 ABCD 的法向量 (0, 0,1)n ， ∵二面角 P AC B  为 3π 4 ，∴ 2 6 4 | | 23 3| cos , | 26 4 1 1 ( ) 3 3             m n ， ∴ 6 4 1 3 3       或 6 4 1 3 3      ． ∴ 1 3   或 7 9   ，∵二面角 P AC B  为钝