第8讲不等式证明-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（拔高）

不等式证明 1．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：. （1）求，并证明：； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 2．已知函数. （1）当时，证明不等式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数. （1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，证明. 4．已知函数，. （1）如果关于x的不等式在恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，证明：. 5．已知函数. （1）当时，求证：； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明. 6．已知函数，其中是常数. （1）当时，用定义证明：是上的递增函数； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 7．已知定义在上的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案 1．（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得； （2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围. 【详解】 解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①. 则即 ② ①加②得，从而可得 （2）即 令，且函数在定义域上单调递增， ， 对上恒成立，即对上恒成立， 令， 则当且仅当即时取等号 即 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题. 2．（1）证明见详解；（2） 【分析】 （1）将代入，求出，记，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值，即可. （2）将不等式转化为在恒成立，构造函数，根据单调性可得，只需恒成立，记，利用导数求出即可. 【详解】 （1）当时，，函数的定义域为 所以， 记， 所以， 当时，，单调递减， 又因为，， 所以存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以， 又因为， 所以， 即，所以，即证. （2）不等式恒成立等价于在恒成立， 即在恒成立， 也就是在恒成立， 构造函数，， 所以在单调递增， 所以， 即， 记， 所以， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，故实数的取值范围. 【点睛】 本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于难题. 3．（1）（2）见解析 【分析】 （1）求出函数导数，令，再利用导数求得函数的单调性与最值，即