易错点11 直线和圆-备战2021年高考数学（理）一轮复习易错题

易错点11 直线和圆 易错点1： 直线的方程 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。 易错点2：圆的方程    (1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；    (2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.   易错点3：直线与圆相离 直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 易错点4：直线与圆相切 直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.  易错点5：直线与圆相交 直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.     01 直线的方程 例1（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【警示】考试中的动直线一般有两类：一是绕着定点旋转；一是斜率不变，做平移运动。本题的突破点就是直线过定点，直线过定点，还有根据斜率关系知道两条直线互相垂直。 【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂直，故点在以为直径的圆上运动，故 ．故选B． 【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论： 若直线：（其中为常数），则直线必过定点； 若直线：（其中为常数），则直线必过定点； 若直线：（其中为常数），则直线必过定点； 若直线：（其中为常数），则直线必过定点； 若直线：（其中为常数），则直线必过定点； 若直线：（其中为常数），则直线必过定点。 1.（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。故选：. 2．已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． 【解析】已知点，与直线，且直线与线段相交， 直线，即直线，它经过定点， 的斜率为，的斜率为， 则直线的斜率的取值范围为或， 故选：. 02 圆的方程 例2(2020年北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【警示】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【解析】设圆心，则，化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号，故选：A. 【叮嘱】求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：     (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.    (2)根据已知条件，建立关于或的方程组.    (3)解方程组，求出a,b,r或E,D,F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 1．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A． B． C． D． 【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为． 2．圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为所求圆的圆心与圆的圆心关于原点对称， 所以所求圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为. 故选：B. 03 直线与圆相离 例3（2020年全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【警示】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而， 当直线时，，，此时最小． ∴即，由解得，． 所以以为直径的圆的方程为，即， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【叮嘱】直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 1.已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解析】将圆化成在平面直角坐标系下的形式， 圆 ，圆心 为 ，半径 . 已知直