高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章2.7.1抛物线的标准方程-教学设计

课程基本信息 课题 2.7.1抛物线的标准方程 教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 8 月 教学目标 教学目标：类比椭圆、双曲线，理解抛物线的概念；会推导和应用抛物线的标准方程 教学重点：抛物线的概念与标准方程 教学难点：抛物线的标准方程的推导 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 2分 情境与问题 抛物线这个几何对象，我们并不陌生. 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图像是一条抛物线；等等. 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？ 本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程. 5分 抛物线的定义 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线. 10分 抛物线的标准方程 《尝试与发现》 怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？ 同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程. 《探究》 为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设 （即 F 到准线 l 的距离为 ），因为直线 l 不过点 F，所以 >0. 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 此时，抛物线的焦点为 ，准线为 . 设 M(x，y) 是抛物线上一点，则 M 到 F的距离为 ， M 到 F 直线 l 的距离为 ，所以 上式两边平方，整理可得 . ① 方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图所示. 《尝试与发现》 如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）