专题16 球的内切外接问题高考真题集锦-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题16：球的内切外接问题高考真题集锦（解析版） 一、单选题 1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】 设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意， 得 ， EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形， 由正弦定理可得 ， ，根据球的截面性质 平面 ， ， 球 的表面积 . 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 2．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题 设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示， 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点， 当 平面 时，三棱锥 体积最大 此时， , 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B. 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型． 3．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷） 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，， ，则该球体积V的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B. 考点：球及其性质. 4．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一: 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥， ，又 ， 分别为 、 中点， ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， ， 为正方体一部分， ，即 ，故选D． 解法二: 设 ， 分别为 中点， ，且 ， 为边长为2的等边三角形， 又 EMBED Equation.DSMT4 中余弦定理 ，作 于 ， ， 为 中点， ， ， ， ，又 ， 两两垂直， ， ， ，故选D. 【点睛】 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 5．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷） 体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为 ，所以正方体的外接球的半径为 ，所以该球的表面积为 ，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积 【名师点睛】与棱长为 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为 、 和 . 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷） 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，， ，则该球体积V的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B. 考点：球及其性质. 7．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ） 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，当点C位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，则球 的表面积为 ，故选C． 考点：外接球表面积和椎体的体积． 8．2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）新课标文科数学 设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3 a2 B．6 a2 C．12 a2 D．24 a2 【答案】B 【详解】 方体的长、宽、高分别为 ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径，所以球直径为： ， 所以球的半径为 ，所以球的表面积是 ，故选B 9．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为