专题13 立体几何中点到面的距离问题-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题13：立体几何中点到面的距离问题（解析版） 1．已知四边形 是梯形（如图甲）， ， ， ， ， 为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置（如图乙），且 ． 甲 乙 （1）求证：平面 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）连接 ，取 的中点 ，连接 ， ， 可得 ， ，进而可得 平面 ，又 平面 ，可得平面 平面 ； （2）设点 到平面 的距离为 ，利用等体积法 进行转化计算即可得解. 【详解】 （1）连接 ，因为 ， ， ， 为 的中点， ，所以四边形 是边长为2的正方形，且 ， 取 的中点 ，分别连接 ， ， 因为 ，所以 ， ，且 ， ， 又 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ； （2）由（1）知， 平面 ， 为正三角形且边长为2， 设点 到平面 的距离为 ， ， 则 ， 所以 ， 即 ，解得 ， 故点 到平面 的距离为 ． 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，考查点面间的距离求法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查空间想象能力，属于常考题. 2．如图，三棱柱 中，底面 为等边三角形， 平面 ，且 ，点 为 的中点，点 为 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）由等边三角形的性质可知 ，由线面垂直的性质定理可知 ；再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）取 的中点 ，连接 ，由线面垂直的判定定理可证得 面 ，即三棱锥 的高为 ；易知 ，故 ， ，以便求 的面积；设点 到平面 的距离为 ，由等体积法 ，解出 的值即可. 【详解】 证明：（1） 底面 为等边三角形，且 为 的中点， . 面 ， 面 ， ， 又 ， 面 ， 面 ， 面 ， 面 ， 面 面 . （2）解：取 的中点 ，则 ，连接 . 面 ， 面 ， ， ， 、 面 ， 面 ，即三棱锥 的高为 . ， ， ， ， ， 为 的中点， ，且 . 设点 到平面 的距离为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 故点 到平面 的距离为 . 【点睛】 本题考查空间中线与面的垂直关系、点到面的距离，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 3．三棱锥 中， 分别为棱 的中点， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 试题分析：（1）利用勾股定理有 ，利用等腰三角形中点，有 ，故 平面 ，所以平面 平面 ；（2）利用等体积法， ，即 ，所以 . 试题解析： （1）由题意： ，∵ ，∴ ，即 ． 又∵在 中， 为 的中点，∴ ． ∵ ，∴ 平面 ， 又∵ 平面 ，∴平面 平面 ． （2）由（1）知 平面 ， 的面积为 ， 又∵在 中， ，得 ， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴ ，∴点 到平面 的距离为 ． 考点：1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法. 4．如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形，对角线 与 交于点 ，侧面 是边长为2的等边三角形， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若侧面 底面 ，求点 到平面 的距离. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）利用线线平行，证明线面平行，所以可以通过证明 ，而 平面 ， 平面 ，从而证得 平面 ．  （2）利用换底的方法求几何体的体积，根据线线垂直，可以得到线面垂直，从而找出几何体的高，再根据等体积转化，从而求出点 到面 的距离. 【详解】 （1）连接 ，易证 为 的中位线，所以 . 又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . （2）∵平面 底面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 在 中， ， ∴ 又∵ 设点 到面 的距离为 ∴ ∴点 到面 的距离为 【点睛】 本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，基本定理的应用，利用等体积转化求高. 5．在直三棱柱 中， ， ， ， . （1）求三棱锥 的表面积； （2）求 到面 的距离. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据 ，得到 为直角三角形，再根据直三棱柱 ，得到 ， 为直角三角形， 是等腰三角形，分别求得各三角形的面积即可. （2）易得三棱锥 与三棱锥 的体积相等，又 ，则 ，利用等体积法求解. 【详解】 （1）因为 ， 所以 为直角三角形， 则 . 因为直三棱柱 ， 所以 ， 为直角三角形， 则 ， ， ， ， 在等腰 中， 边上的高 ，则 ， 所以三棱锥 的表面积 . （2）因为三棱锥