专题12 文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版） 题型一：求体积 1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题 如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． （1）证明：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【详解】 分析：（1）先证 ,再证 ，进而完成证明． （2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因为M为 上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM． 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． （2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD． 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP． MC 平面PBD，OP 平面PBD，所以MC∥平面PBD． 点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题． 2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷） 如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将△ 折起，使点 到达点 的位置，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积． 【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】 分析：(1)首先根据题的条件，可以得到 =90，即 ，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB 平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC； (2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得， =90°， ． 又BA⊥AD，且 ，所以AB⊥平面ACD． 又AB 平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= ． 又 ，所以 ． 作QE⊥AC，垂足为E，则 ． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱锥 的体积为 ． 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可. 3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【分析】 （1）先由长方体得， 平面 ，得到 ，再由 ，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先设长方体侧棱长为 ，根据题中条件求出 ；再取 中点 ，连结 ，证明 平面 ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】 （1）因为在长方体 中， 平面 ； 平面 ，所以 ， 又 ， ，且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）设长方体侧棱长为 ，则 ， 由（1）可得 ；所以 ，即 ， 又 ，所以 ，即 ，解得 ； 取 中点 ，连结 ，因为 ，则 ； 所以 平面 ， 所以四棱锥 的体积为 . 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型. 4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 , （1）证明：直线 平面 ; （2）若△ 面积为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【分析】 试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取 中点 ，由于平面 为等边三角形，则 ，利用面面垂直的性质定理可推出 底面ABCD，设 ，表示相关的长度，利用 的面积为 ，求出四棱锥的体积. 试题解析： （1） 在平面内，因为,所以 又平面平面故平面 （2）取的中点，连接 由及 得四边形为正方形，则. 因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面， 所以底面 因为底面，所以, 设，则，取的中点，连接，则,所以， 因为的面积为