专题11 文科立体几何高考真题小题（全国卷）赏析-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题11：文科立体几何高考真题小题（全国卷）赏析（解析版） 1，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷） 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为 的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ， 所以其表面积为 ，故选B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 2，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 是线段 的中点，则（ ） A． ，且直线 是相交直线 B． ，且直线 是相交直线 C． ，且直线 是异面直线 D． ，且直线 是异面直线 【答案】B 【分析】 利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】 如图所示， 作 于 ，连接 ，过 作 于 ． 连 ， 平面 平面 ． 平面 ， 平面 ， 平面 ， 与 均为直角三角形．设正方形边长为2，易知 ， ． ，故选B． 【点睛】 本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性． 3，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷） 在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先画出长方体 ，利用题中条件，得到 ，根据 ，求得 ，可以确定 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】 在长方体 中，连接 ， 根据线面角的定义可知 ， 因为 ，所以 ，从而求得 ， 所以该长方体的体积为 ，故选C. 【点睛】 该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 4．2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II） 在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，在 中进行计算即可. 【详解】 在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ， 设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ， 则 .故选C. 【点睛】 求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 5．2018年全国卷Ⅲ文数 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A．B．C．D． 【答案】A 【详解】 详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形 故俯视图为 故选A. 点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题． 6．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文 设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示， 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点， 当 平面 时，三棱锥 体积最大 此时， , 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B. 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型． 7．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色