专题10 立体几何中的体积问题-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题10：立体几何中的体积问题（解析版） ⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积： ⑶圆台侧面积： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 球的表面积和体积 . 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 　 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 1．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点. （1）求证： ； （2）若 ，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）利用勾股定理，可得 ，结合 ，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果. （2）计算 ， ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果. 【详解】 （1）∵三棱柱 是直三棱柱， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ， ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ . （2）∵ 是 中点， ∴ ， ∵ 平面 ， ， ∴ . 【点睛】 本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题. 2．如图所示：在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）详见解答；（2） . 【分析】 （1）由已知可得 ，再由面面垂直定理可得 平面 ，即可证明结论； （2） 平面 ，用等体积法求三棱锥 的体积. 【详解】 （1） 为 中点， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 平面 ； （2） 且 ， 分别为 的中点， ， 平面 ， ， . 【点睛】 本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题. 3．如图所示，四棱锥的底面 是一个矩形， 与 交于点 ， 是四棱锥的高.若 ， ， ，求四棱锥的体积. 【答案】 . 【分析】 在 中求出 在 中求出 ，再根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】 是棱锥的高， . 在 中， . ， 在 中， . ， . 【点睛】 本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题. 4．如图，四棱锥 的底面是边长为2的菱形， 底面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得 平面 ； （2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积. 【详解】 解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PD⊥平面ABCD， 平面ABCD， 所以PD⊥AC，又 ， 故AC⊥平面PBD； （2）因为PD⊥平面ABCD， 所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角， 于是∠PBD=45°， 因此BD=PD=2.又AB= AD=2， 所以菱形ABCD的面积为 ， 故四棱锥P- ABCD的体积 . 【点睛】 本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题. 5．如图，在边长为2的菱形 中， ，现将 沿 边折到 的位置． （1）求证： ； （2）求三棱锥 体积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）1 【分析】 （1）取 的中点为 ，连接 ，由线面垂直的判定定理即可证出. （2）由体积相等转化为 即可求出. 【详解】 （1）如图所示， 取 的中点为 ，连接 ，易得 ， ,又 EMBED Equation.DSMT4 面 （2）由（1）知 EMBED Equation.DSMT4 ， = ,当 时， 的最大值为1. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题. 6．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）根据等腰三角形证明 ，得到答案. （2）计算得到 ， ，再利用体积公式计算得到答案. 【详解】 （1） ， 为 的中点，故 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，故 平面 . （2） ， ，故 ， . 故 . 【点睛】 本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．如图所示，在长方体 中，求棱锥 的体积与长方体的体积之比. 【答案】 【解析】 【分析】 棱锥 可以看成棱锥 ，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可. 【详解】 解：已知的长方