专题9 立体几何中的表面积与侧面积问题-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题9：立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版） ⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积： ⑶圆台侧面积： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 球的表面积和体积 . 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 　 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 1．在底面半径为2，高为 的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积. 【答案】 【分析】 由圆柱、圆锥的底面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为1、 ，进而求其表面积即可. 【详解】 由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2， 即圆柱底面半径 ，若设圆柱的高为 ，则有 ，即 ， ∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积， 即： . 【点睛】 本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单题. 2．已知圆锥的底面半径为1，高为 ，求圆锥的表面积. 【答案】 . 【分析】 先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可得答案； 【详解】 解：设圆锥的母线长为 ，则 ，所以圆锥的表面积为 . 【点睛】 本题考查圆锥的表面积求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和. （1）求圆台的母线长. （2）求圆台的表面积. 【答案】（1）5（2）80π 【分析】 （1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线； （2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案. 【详解】 （1）设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62， ∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5； （2）由（1）可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π. 【点睛】 本题考查由圆台的性质求圆台的母线与表面积，属于基础题. 4．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 【答案】160 【分析】 由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案. 【详解】 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝ EMBED Equation.DSMT4 ＝ ＝ ＝64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 【点睛】 本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题. 5．若长方体的三个面的面积分别是 ，求： （1）长方体的体对角线的长； （2）长方体的表面积. 【答案】（1） .（2） 【分析】 （1）设长方体的长，宽，高分别为 ，根据已知条件列出方程，求出 ，即可求出对角线； （2）根据已知条件，即可求解. 【详解】 （1）设长方体的长，宽，高分别为 ，如图. 可令 解得 ， ，∴该长方体的体对角线长为 . （2） . 【点睛】 本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题. 6．如图，四面体 的各棱长均为 ，求它的表面积. 【答案】 【解析】 【分析】 因为四面体 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍. 【详解】 解：因为 是正三角形，其边长为 ，所以 . 因此，四面体 的表面积 . 【点睛】 本题考查锥体的表面积，是基础题. 7．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为 ，求它的侧面积和全面积. 【答案】 ， 【分析】 由题意可知，该几何体是边长为 的正四面体，然后利用等边三角形的面积公式可计算出该几何体的侧面积和全面积. 【详解】 由于正三棱锥的侧面都是等边三角形，则该几何体为正四面体， 所以， ， . 【点睛】 本题考查正四面体侧面积和表面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 8．正四棱台两底面边长分别为 和 . （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 ，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积； （2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高. 【详解】 （1）如图，设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 为正四棱台的斜高， 由题意知 ，