专题7 立体几何中直线与平面的夹角几何法-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题7：立体几何中直线与平面的夹角几何法（解析版） 线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。]. 如图：PA是平面 的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面 上射影， 为线面角。 1．如图， 是正方形，直线 底面 ， ， 是 的中点. （1）证明：直线 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2） ； 【分析】 （1）连接 ，由三角形中位线可证得 ，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）根据线面角定义可知所求角为 ，且 ，由长度关系可求得结果. 【详解】 （1）连接 ，交 于 ，连接 四边形 为正方形 为 中点，又 为 中点 平面 ， 平面 平面 （2） 平面 直线 与平面 所成角即为 设 ，则 【点睛】 本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行. 2．如图，四棱锥 中，底面四边形 为菱形， ， 为等边三角形. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 ， ，求直线 与平面 所成的角. 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） . 【分析】 （Ⅰ）取 中点E，连结 ， ，由已知可得 ， ，又 ，即可证 平面 ，从而可得 ． （Ⅱ）先证明 ，可得 平面 ，由线面角定义即可知 即为所求． 【详解】 （Ⅰ）因为四边形 为菱形，且 EMBED Equation.DSMT4 所以 为等边三角形． 取线段 的中点 ,连接 ， 则 . 又因为 为等边三角形，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 所以直线 平面 ， 又因为 ，所以 ． （Ⅱ）因为 为等边三角形，且其边长为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 . 因为 ， 所以 面 ， 所以 为直线 与平面 所成的角. 在 中， ，所以 故直线 和平面 所成的角为 . 【点睛】 本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题 ． 3．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点. （1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （2）求直线AC1与面BCC1B1所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证出AD⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）连接 ，可得 为直线AC1与面BCC1B1所成的角，在 中即可求解. 【详解】 （1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 面 ， ， 又 ， 是 的中点， ， ， AD⊥平面BCC1B1， 又 面ADC1， 平面ADC1⊥平面BCC1B1. （2）连接 ，由（1）AD⊥平面BCC1B1， 则 为直线AC1与面BCC1B1所成的角， 在 中， ， ， ， 所以直线AC1与面BCC1B1所成角的正弦值为 . 【点睛】 本题考查了面面垂直的判定定理、求线面角，考查了逻辑推理能力以及计算求解能力，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题7：立体几何中直线与平面的夹角几何法（原卷版） 线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。]. 如图：PA是平面 的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面 上射影， 为线面角。 1．如图， 是正方形，直线 底面 ， ， 是 的中点. （1）证明：直线 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值. 2．如图，四棱锥 中，底面四边形 为菱形， ， 为等边三角形. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 ， ，求直线 与平面 所成的角. 3．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点. （1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （2）求直线AC1与面BCC1B1所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$