专题6 立体几何中异面直线的夹角几何法-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法（解析版） 异面直线成角 步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解 注意：取值范围：（0。,90。]. 1．如图，四边形 是边长为2的正方形， 面 ，直线 与直线 所成角大小为60°． （1）求证：平面 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，先证明 面 ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立； （2）设正方形 的中心为 ， 中点为 ，连接 ，则 ，得到 （或其补角）是异面直线 与 所成角，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】 （1）证明：∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， 又∵ ， ， 面 ， 面 ，∴ 面 ， ∵ 面 ，∴平面 平面 ； （2）设正方形 的中心为 ， 中点为 ，连接 ， ，则 ， ∴ （或其补角）是异面直线 与 所成角， ∵ ，∴ ， ， 又 ，∴ ， ， ∴ ， ∴直线 与直线 所成角大小为 ． 【点睛】 本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型. 2．空间四边形 中， ，点 分别为对角线 、 的中点. （1）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小； （2）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小. 【答案】（1） ；（2） 或 . 【分析】 取 中点为 ，连接 ， ，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到 即是直线 与 所成的角，或所成角的补角， 为直线 与 所成的角，且 为等腰三角形； （1）根据条件，得到 ，求出 ，即可得出结果； （2）根据条件，得到 或 ，进而可求出结果. 【详解】 取 中点为 ，连接 ， ， 因为点 分别为对角线 、 的中点， 所以 ， ，且 ， ， 则 即是直线 与 所成的角，或所成角的补角， 为直线 与 所成的角， 又 ，所以 ，即 为等腰三角形； （1）若直线 与 所成角为 ，即 ， 则 ， 所以直线 与 所成角的大小为 ； （2）若直线 与 所成角为 ， 则 或 ， 若 ，则 ， 即直线 与 所成角的大小为 ； 若 ，则 ， 即直线 与 所成角的大小为 . 综上， 直线 与 所成角的大小为 或 . 【点睛】 本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型. 3．已知长方体 中，M､N分别是 和BC的中点，AB=4，AD=2， ，求异面直线 与MN所成角的余弦值. 【答案】 【分析】 如图，连接 ，则 ∥ ，所以 为异面直线 与MN所成角，然后在直角三角形 中求解即可 【详解】 解：如图，连接 ， 因为M､N分别是 和BC的中点，所以 ∥ ， 所以 为异面直线 与MN所成角， 因为长方体 中，AB=4，AD=2， ， 所以 ， ， 平面 ， 所以 ， 所以 ， 所以异面直线 与MN所成角的余弦值为 【点睛】 此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题 4．如图所示，在正方体 中，M、N分别为 、 的中点. （1）求证： ； （2）求异面直线 与 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60° 【分析】 （1）易知 ， ，根据平行的传递性得出结论; （2）由（1）的平行知异面直线MN与 所成成角是 （或其补角），在三角形中求得此角即可． 【详解】 （1）连接 ，∵M、N分别为 、 的中点，∴ , 正方体中， 与 平行且相等，∴ 是平行四边形，∴ ，所以 ， （2）由（1）知异面直线MN与 所成成角是 （或其补角）， 在立方体中， 是等边三角形，∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴异面直线MN与 所成成角是60°． 【点睛】 本题考查证明线线平行以及求异面直线所成的角，属于基础题型. 5．如图，已知长方体 中， ， ， . （1） 和 所成的角是多少度？ （2） 和 所成的角是多少度？ 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）根据 可知所求角为 ，由 中的长度关系可求得结果； （2）根据 可知所求角为 ，由 中的长度关系可求得结果. 【详解】 （1）连接 ， ， 异面直线 和 所成角即为直线 和 所成角，即 ， 在 中， ， ， ， ，即异面直线 和 所成角为 ； （2）连接 ， ， 异面直线 和 所成角即为直线 和 所成角，即 ， 在 中， ， ， ， ，即异面直线 和 所成角为 . 【点睛】 本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题. 6．已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体． （1）求直线DA1与BC所成角； （2）求直线D1A与BA1所成角； （3）求直线BD1和AC所成角． 【答案】（1） （2） （