专题5 立体几何中垂直的证明-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题5：立体几何中垂直的证明（解析版） 一、直线与平面垂直 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号： 例1．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC． 【答案】详见解析. 【分析】 根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明 与平面 内的两条相交直线垂直即可,而 , 满足定理条件. 【详解】 证明: C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径， , 平面 平面 , , 平面 平面 平面 . 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题. 二.直线与平面垂直性质 性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 符号： 推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α 例2．如图，在三棱锥P-ABC中， ，垂足为D， 底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证： . 【答案】证明见解析 【分析】 通过线面垂直证得 ，结合 得 平面POC，即可得证. 【详解】 证明： 底面ABC， 底面ABC， . ∵O在CD上, . 又 ， 平面POC. 平面POC， . 【点睛】 此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直. 例3．已知三棱锥 中， ， .若平面 分别与棱 相交于点 且 平面 . . 【答案】证明见解析. 【分析】 利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出 . 【详解】 因为 ， ， , 平面 ，所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,由（1）可知 ,所以 . 【点睛】 本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用. 3．平面与平面垂直的判定 ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号： 例4．已知 是圆的直径， 垂直圆所在的平面, 是圆上任一点．求证:平面 ⊥平面 . 【答案】证明见解析 【分析】 先证直线 平面 ，再证平面 ⊥平面 . 【详解】 证明: ∵ 是圆的直径， 是圆上任一点， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ，又 平面 ， 平面 ⊥平面 . 【点睛】 本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明. 4．平面与平面垂直性质 ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号： 推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。 例4．如图所示，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， ， 底面 ，且 ， 、 分别为 、 的中点.求证： . 【答案】证明见解析 【分析】 在等腰三角形PAB中， 是 的中点，可得 ，利用线面垂直的判定定理可证 平面 ，利用线面垂直的性质定理，即可得证. 【详解】 证明：∵ 是 的中点， ， ∴ ， ∵ 底面 ， ∴ ， 又∵ ，即 ∴ 平面 ， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ . 针对练习 1．如图所示，在四棱锥 中， ， ，面 面 ． 平面 平面 ． 【答案】见解析 【分析】 由题，易得 ，再利用面 面 可得 面 ，即得证. 【详解】 (1) 面 , 面 ,∴ 平面 (2) ∵ ∴ ∵面 面 ,面 面 , 面 , ∴ 面 , 又 面 ,∴面 面 【点睛】 本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定