专题4 立体几何中平行关系的证明-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题4：立体几何中平行关系的证明（解析版） 1．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： 例1．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.求证： 平面 . 【答案】证明见解析 【分析】 根据图像，连接 ，与 相交与 ，连接 ， 是平行四边形， 是 的中点，根据中位线的性质即可得证. 【详解】 如图， 连接 ，与 相交与 ，连接 ， ∵ 是平行四边形， ∴ 是 的中点， 又 是 的中点， ∴ ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 例2．如图所示，在四棱锥 中， ， ， ， 底面 ， 为 的中点。求证： 平面 【答案】证明见解析. 【分析】 取 的中点 ，连接 ，由三角形的中位线定理可得 ∥ , ，而已知 ∥ ， ，从而得 ∥ ， ，所以四边形 为平行四边形，从而得 ，再利用线面平行的判定定理可证明 【详解】 证明：取 的中点 ，连接 因为 为 的中点， 所以 ∥ , ， 因为 ∥ ， ， 所以 ∥ ， ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 注：证明线面垂直 1，找中位线 2，找平行四边形 3，正两个面平行 2．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: 例3．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM． 【答案】见解析． 【分析】 先通过中位线，通过线线平行，证得平面 平面 ，在根据面面平行的性质定理证得 . 【详解】 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB． 又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC． 又平面PCM∩平面DEF＝FN， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以FN∥CM． 【点睛】 本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断. 平面与平面的位置关系： 平行——没有公共点： 符号 α∥β 相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a 1．平面与平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 简记为：线面平行，则面面平行. 符号： 例4．如图为一简单组合体，其底面 为正方形，棱 与 均垂直于底面 ， ，求证：平面 平面 . 【答案】见解析 【分析】 由正方形的性质得出 ，可得出 平面 ，由线面垂直的性质定理得出 ，可得出 平面 ，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】 由于四边形 是正方形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 . 【点睛】 本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题. 2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简记为：面面平行，则线线平行. 符号： 补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等； 两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行； 例5．如图，在三棱锥 中， 分别是 中点，平面 平面 .求证： . 【答案】证明见解析 【分析】 先根据线面平行证明 ，结合平行的传递性可得 . 【详解】 因为 分别是 的中点，所以 ，所以 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . 又 ，所以 . 【点睛】 本题主要考查空间中的直线与直线平行，线线平行可以通过线面平行转化，侧重考查逻辑推理的核心素养. 针对练习 1．如图所示，在三棱柱 中，D为 的中点，连接 求证 平面 . 【答案】见解析 【分析】 要证 平面 ，只要证 与平面 内某条直线平行即可.因为D是边 的中点，所以考虑从中位线入手，在平面 内找与 平行的直线，再结合线面平行的判定定理，证得 平面 . 【详解】 如图，连接 ，设 ，连接 . 由题意知四边形 是平行四边形， 所以O是 的中点. 又D是 的中点，所以 是 的中位线，即 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平