专题2 球的内切外接问题-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题2：球的内接外切问题（解析版） 几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。 几何体的外接球问题你通常会想到： ①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。 这类题80%以上都不用画图，只需要2步搞定： ①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径R 常见几何体的外接球半径： 例1．已知正方体 棱长为2，点 是上底面 内一动点，若三棱锥 的外接球表面积恰为 ，则此时点 构成的图形面积为________. 【答案】 . 【分析】 设三棱锥 的外接球为球 ，分别取 、 的中点 、 ，先确定球心 在线段 和 中点的连线上，先求出球 的半径 的值，然后利用勾股定理求出 的值，于是得出 ，再利用勾股定理求出点 在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案． 【详解】 如图所示，设三棱锥 的外接球为球 ， 分别取 、 的中点 、 ，则点 在线段 上， 由于正方体 的棱长为2， 则 的外接圆的半径为 ， 设球 的半径为 ，则 ，解得 . 所以， ， 则 而点 在上底面 所形成的轨迹是以 为圆心的圆， 由于 ，所以 ， 因此，点 所构成的图形的面积为 . 【点睛】 本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题. 例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A．10 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【分析】 各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解. 【详解】 因为正四棱柱高为4，体积为16， 所以正四棱柱的底面积为 ，正四棱柱的底面的边长为 ， 正四棱柱的底面的对角线为 ， 正四棱柱的对角线为 ，而球的直径等于正四棱柱的对角线， 即 ， , 故选：C 例3．在直三棱柱 中， ， ， ， ，则该直三棱柱的外接球体积为______. 【答案】 【分析】 由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积. 【详解】 在 中，由余弦定理得 ，得 . 所以 的外接圆半径 . 所以该三棱柱的外接球半径 . 所以外接球体积 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键. 模型一——圆柱外接球模型 一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径. 变形一： 如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示： 我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。 在这里棱柱的高就是公式中的h， 而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r 例4，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项. 【详解】 如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则 ，解得 ， 所以外接球的表面积为 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查正方体的外接球的表面积，关键在于求出球的半径，属于基础题. 例5．在直三棱柱 中， ， ， ，若该三棱柱的外接球表面积为 ，则三棱柱的高为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】 利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得三角形 外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高. 【详解】 在 中， ，得 . 所以 的外接圆半径 . 设该三棱柱的高为 ， 则该三棱柱的外接球半径 . 所以外接球表面积 .解得 故选：C 【点睛】 本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力. 变形二： 如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉我们将得到右图三棱锥： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 例6．已知A､B､C､D为同一球面上的四个点.在△ABC中， ， ；AD=6， ⊥平面 ，则该球的体积为___________. 【答案】 【分析】 设 的外接圆圆心为 ，球心为 ，根据线面垂直关系先求出 ，再求出由余弦定理求出 ，由 为球的半径，所以 为直角三角形，用勾股定理及可求出球的半径，再由球的体积公式即可求解. 【详解】 由题设 的外接圆圆心为 ，球心为 ，所以 平面 ，因为 ⊥平面 ，所以 与 平行，因