专题1.3 证明（备课堂）-【上好课】2020-2021学年八年级数学上册同步备课系列（浙教版）

1.3 证明 浙教版八年级上册 * 证明命题的一般步骤: (1)根据题意，画出图形； (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； (3)在“证明”中写出推理过程. 　　依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善. * A B C 对于三角形，我们已经有哪些认识？ 合作探索 定义 分类 内角和 外角和 ………… * 三角形的三个内角的和等于180°. 例1、求证： A B C 已知： 求证： 如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. ∠A+∠B+∠C=180° * 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果. A C B 图1 B A C 图2 BA C 图3 BAC 图4 例1、求证：三角形三个内角的和等于180º. * 1 1 2 A B D 2 3 C 1 2 实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. * 在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）.他的想法可行吗？ A B C E D 证明　过点A作DE∥BC.则 ∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等） ∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE 　＝∠DAE＝180º（平角的定义） 你还有其他的证明方法么？ 辅助线 * 已知：如图， △ABC. 求证： ∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180° A B C 1 2 D E 证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则 ∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等） ∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等） ∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180° ∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180° * A B C E 图1 E A B C D F 图2 A N B C T S 图3 P Q R M A N B C T S 图4 P Q R M * 关于辅助线： 3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定，平时做题时要注意总结. 2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. 1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线） * 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论： 已知： 求证： 证明： 如图，∠ACD是△ABC的一个外角 ∠ACD =∠A+∠B A B C D * 1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中，∠A+∠B+∠C=1800. A B C 3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 A B C 1 2 D E ∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ ∴ ∠ACD>∠A， ∠ACD>∠B 三角形内角和定理的几何表述： * 1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°，∠B=50°，则∠C= °，请说明理由. 2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断. A B C D 70 B A C D E 1 2 3 做一做 * 例1：如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是 △ABC的两条角平分线，相交于点O. （1）当∠ABC=60O，∠ACB=80O时，求∠BOC的度数 （2）当∠A=40O时，求∠BOC的度数 （3）当∠A=100O，120O时，求∠BOC的度数 （4）当∠A= 时，求∠BOC的度数 (用含 代数式表示） * 1.已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且∠1＝∠2.求证：∠B＝∠ADE. 1 2 A D B E C 解：∵∠1＝∠2(已知)， ∴DE∥BC (内错角相等，两直线平行)， ∴∠B＝∠ADE (两直线平行，同位角相等). 课内练习： * 2.已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD.求证：CE∥AB. A D B E C 解：∵CE平分∠ACD(已知)， ∴∠ACD＝2∠ECD (角平分线定义)， ∴∠B＝∠ECD 又∵∠ACD＝2∠B(已知) ∴CE∥AB(同位角相等，两直线平行). * 3.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，∠ADC＝72°.求证：AD平分∠BAC. A D B C 解：∵∠C＝90°，∠ADC＝72°(已知)， ∴∠CAD＝180°－90°－72°＝18° (三角形内角和等于1