2.2.1 基本不等式-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

　基本不等式 第1课时　基本不等式 学业标准 学科素养 1.了解基本不等式的证明过程.(重点) 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 3.能利用基本不等式求简单函数的最值.(重点、难点) 1.借助基本不等式的证明过程，培养直观想象逻辑推理核心素养. 2.通过求最值，提升逻辑推理数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学　基本不等式 [问题1]　如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]　a＋b≥2. [问题2]　不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ [提示]　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数. [问题3]　≥与≥ab是等价的吗？ [提示]　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. ◎结论形成 1.概念：如果a＞0，b＞0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立.这个不等式称为基本不等式，其中，叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数. 2.文字叙述 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立. (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2. (3)若a>0，b>0，则ab≤. (4)a，b同号时，＋≥2. (5)函数y＝x＋的最小值为2. 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2.不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是 A.x＝3　　 B.x＝－3　　 C.x＝5　　 D.x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去). 答案　C 3.已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为－4 D.最小值为－4 解析　∵x＜0， ∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号. 答案　C 4.若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________. 解析　xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”. 答案　2 题型一　对基本不等式的理解 [例1]　给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2 ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0， ∴＋＝－ ≤－2 ＝－2. 其中正确的推导为 A.①②　 　 B.①③　 　 C.②③　 　 D.①②③ [自主解答]　①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确. ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2 ＝4是错误的. ③由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. [答案]　B [规律方法] 1.基本不等式≥ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. [触类旁通] 1.若a＞b＞0，则下列不等式成立的是 A.a＞b＞＞ B.a＞＞＞b C.a＞＞b＞ D.a＞＞＞b 解析　a＝＞＞＞＝b， 因此只有B项正确. 答案　B 题型二　利用基本不等式比较大小 [例2]　(多选题)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中一定成立的是 A.a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ [自主解答]　由≥得a＋b≥2， ∴A成立； ∵＋≥2 ＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立. [答案]　ABC [规律方法] 1.在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件. 2.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. [触类旁通] 2.已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________. 解析　∵a、b、c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 答案　p＞q 题型三　利用基本不等式证明不等式 [例3]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. [自主解答]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝3＋