2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

041 随堂检测重反馈 1若>5，则x+45的最小值为 A.6 B.8 C.9 D.3 2.设x>0,y>0,x+y=4,则1+4的最小值为 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2, 80元/m2,那么水池的最低总造价为 元 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13] 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 学科核心素养 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式 数学抽象 的现实意义， 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不 数学抽象、数学运算 等式的解集. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 直观想象、逻辑推理 联系 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决 数学建模、数学运算 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 P情境导入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长 度是24m,围成的矩形区域的面积要大于20m,问这个矩形的边长要满 [提示] 设这个矩形的一条边 足什么条件？ ●[提示] 长为xm,则另一条 日新知初探 边长为(12-x)m.由题 知识点一一元二次不等式的概念 意，得(12-x)x> 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式不等 20,其中x∈{xl0< 式，称为一元二次不等式.其一般形式是：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,x<12).整理得X- 其中a,b,c均为常数，a≠0. 12x+20<0,x∈{x 知识点二二次函数的零点 10<x<12). 般地，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=a.x2+bx+c的 042 知识点三二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △=b2-4ac 4>0 4=0 △<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 [知识点反思] 1.二次函数y=ax2+ 有两个相等的实数 bx+c的零点：是y= ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数 根1==-2 无实数根 0时方程ax2+bx+c (a>0)的根 根x1,x2(x1<x2） =0的根；是函数图 象与x轴的交点的横 ax2+bx+c>0 {xx>x2或x<x1} R 坐标； (a>0)的解集 2.一元二次不等式的 解集的端点就是对应 ax+bx+c<0 xlx<x<x2 ☑ 的二次函数的零点， (a>0)的解集 是其对应的一元二次 方程的根. ●[知识点反思] 目预习自测 1,函数y=x2-2x-3的零点为 2.不等式x2-2x-3>0的解集为 题型探究提技能 题型一不含参数的一元二次不等式 [方法总结1] 解不含参数的一元二次 例1解下列不等式： (1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2； 不等式的一般步骤 (3)4x2-4x+1>0:(4)-x2+6.x-10>0. ,化标准：通过对不等式 的变形，使不等式右侧 [方法总结1] 为0，使二次项系数 为正： 2判别式：对不等式左侧 分解因式，若不易分 解，则计算对应方程的 判别式； 】跟踪训练1 3.求实根：求出相应的一 解不等式-2x2+x+3<0. 元二次方程的实根或根 据判别式说明方程有无 实根； 4.画草图：根据一元二次 方程根的情况画出对应 的二次函数的草图； 5.写解集：根据图象写出 不等式的解集 043 题型二含参数的一元二次不等式 例2解关于x的不等式a-(a+1)x+1<0(a<1). [方法总结2] >[方法总结2] 在解合参数的一元二 次不等式时常从以下 三个方面进行考虑 .不等式类型的讨 论：二次项系数Q> 0,a<0,Q=0: 2.不等式对应的方程 根的讨论：两不同实 》跟踪训练2 根（△>0），两相同实 解关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0(a∈R) 根（△=0），无根（△< 0); 3.不等式对应的方程 根的大小的讨论：x >2,X1=2,X <X2 题型三三个“二次”的关系 例3已知一元一次不等式+m+9<0的解集为-}<x< ,求p,9 的值并求不等式qx2+px+1>0的解集. [方法总结3] 号与写是方程2+四+9=0的两个实数根 三个“二次”中的 关系 ●[方法总结3] 一元二次不等式的解 集的端点就是对应的 二次函数的零点，是 其对应的一元二次方 程的根.可由一元二次 方程根与系数的关系 列方程组求参数」 》跟踪训练3 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{xlx≤-3或x≥4}，求不等式bx2+2ax -c-3b≥0的解集 044 随堂检测重反馈 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是 ( A.x2+√2x<-1 B.x2+√x+1<0 C.0+3+1<0 D.x2+1<0 2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xl1<x<2},则a+b的值为 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.关于x的不等式ax-b>0的解集是{xlx>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 () A.{xl-1<x<3} B.xl1<x<3 C.{xlx<1或x>3 D.{x|x<-1或x>3} 4.不等式-x2-3x+4>0的解集为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究提技能 题型一 解简单的分式不等式 [方法总结1] 分式不等式的解法 例1解下列不等式： /,利用“两数相除同 0)号<0：(2号=0：32>1 ●[方法总结1] 号得正异号得负”和 “两数相乘同号得正 异号得负”把比较简 单的分式不等式，直 接转化为一元二次不 等式或一元二次不等 式组求解，但要注意 等价变形，保证分母 不为零. )跟踪训练1 2.对于不等号右边不 解下列不等式： 为零的较复杂的分式 不等式，先移项再通 9≥0：(2)5+<3. (1)x+1、 x+1 分（不要去分母），使 之转化为不等号右边 为零的形式，然后再 用上述方法求解跟踪训练1：6-1y=2+3x+8=(x+1)2+(x+1)+6 x+1 x+1 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. 1 ，因为>-1，所以x+1>0,所以y≤ (2)设每间虎笼长xm,宽ym, (x+1)+6 +1 由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy=24, 1 -26-1 当且仅当x+1= 所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48.当且仅当2x=3y时，等号 +D山1+2623 成 即x=6-1时，等号成立 由24部得化 y=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 03+2万因为a+b=1,所以+子=（日+号）a+6) 方法二：由y=24,得x=24 y =女+径+3=2√合·+3=3+2，当且仅当 a a b 所以1=+6r约+6=6(9+=6x2√9·y48 a+b=1. b_2a即a=2-1,b=2-2时，等号成立 当且仅当6=y即y=4时，等号成立，此时x=6. ab' 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 跟踪训练2x>0,y>0,y=9x+y,.1 921 跟踪训练4：58每台机器运转x年的年平均利润为Y=18 +=(+号）(x+)=0++=0+ -(+空)且x>0.故之≤18-25=8，当且仅当x=5 2,9.=16. 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元 Ny x 随堂检测重反馈 当且仅当号=即=4，y=2时，等号成立 10令1=-5，则>0.+1++52√5 t 即x+y的最小值为16. 例3：因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使2 1 +方≥2a+b =9,(当且仅当=4，即4=2，=7时，取等号）放x+ 恒成立， x-5x>5)的最小值为9 4 只需m≤(2a+6)(名+)恒成立 29 +=4+（仕+号）x+)=( y 面2a+)(2+）=4+++1=5+4=9 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. ++）汉0w0则+华2任-4（当 y 所以m的最大值为9. 且仅当上=“时取等号），则片+≥子×(5+4)-是 跟踪训练3：因为x>0,所以x+】≥2，当且仅当x=1时取等号， x y X 3. ++32月 1 6=子·4≤4（售）=6，当且仅当x=4=分 所以有，2+3x+1 1 时取等号 4.1760设池底一边长为xm,则另一边长为4m,总造价为y 即2的最大值为写，故a≥行 x2+3x+1 例4：(1)设每间虎笼长xm,宽ym, 元则y=4×120+2(2+2×)×80=20(+）+ 则由条件知：4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy. 480>0)因为+兰≥2√4，当且仅当：4即： 方法一：由于18=2x+3y≥2√/2x·3y=2√6xy, =2时取等号，所以ymn=480+320×4=1760(元). 所以26≤18，得≤号，即S≤头，当且仅当2x=3y时. 27 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 等号成立 由它8解45 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 ly=3. 教材梳理明要点 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. 新知初探 方法二：由2x+3y=18,得x=9-多 知识点一 一个2 因为>0，所以9->0， 知识点二 所0<y<65==0-多水=子6-0 实数x零点 预习自测 因为0<y<6,所以6-y>0,所以s≤子·[6》+ 1.-1或3由y=0得x2-2x-3=0,即x=-1或x=3.即函 数的零点为-1和3. 7 2.xlx<-1或x>3}方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1, =2 2=3.函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x -318- 轴有两个交点(-1,0)和(3,0)，如图 则当a=2时，原不等式的解集为0； 所示. 当a>2时，不等式的解集为xl2<x<a}, 观察图象可得不等式的解集为{xIx<-1 当a<2时，不等式的解集为xIa<x<2}. 或x>3}. 题型探究提技能 例郎：因为+pr+q<0的解集为[-子<x<号} 例1：(1)方程2x2+5x-3=0的两实根为 所以x1=一 ，与为=了是方程？+Px+g=0的两个实数根， 2 =-3=分， 1 1 32p, p= 作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①. 由根与系数的关系得 解得 6 由圆可得原不等式的解架为-3<x<} 1 =9, 9= 6 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.4=36-4×3×2=12 12 所以不等式gx2+px+1>0即为- >0, 6t+ 6x+1>0, 解方程6+2=0得353 整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 3 即不等式qx2+x+1>0的解集为{xl-2<x<3}. 作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②， 跟踪训练3：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{xlx≤-3或 x≥4}， 3-3 由图可得原不等式的解集为{xx≤ 3或x≥ 3+31 所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根， 3 「-3+4=-a b 由根与系数的关系可得 即/6=-a, -3×4=C lc=-12a. 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a ≥0， 3+/3 即x2-2x-15≥0，解得x≤-3或x≥5， 故所求不等式的解集为{xlx≤-3或x≥5. 9 随堂检测重反馈 (3):方程42-4x+1=0有两个相等的实根。=龙=2 1.AD由于2+E+1<0,2+3+1<0不符合一元二次不等 作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③】 式的定义，只有x2+2x<-1,x2+1<0是一元二次不等式， 由图可得原不等式的解集为{≠} 故选AD. 2.A因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x1<x<2},所 (4)原不等式可化为x2-6x+10<0, :4=36-40=-4<0,.方程x2-6x+10=0无实根 以1和2为方程(x-a)(x-6)=0的两个，则有仔2或 函数y=x2-6x+10的图象在x轴上方，与x轴无交点 .原不等式的解集为⑦. 二，所以a+b=1+2=3,即a+b的值为 跟踪训练1：不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0. 因为4=(-1)2-4×2×(-3)=25>0， 3.D因为不等式ax-b>0的解集是{xlx>1},所以a>0,b 3 所以方程2x2-x-3=0的两根为x=-1,x2=2 =1,所以(a+b)(x-3)>0等价于a(x+1)(x-3)>0,其 解集应为xlx>3或x<-1},故选D. 又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上， 4.}xl-4<x<1} -x2-3x+4>0→(x+4)(x-1)<0→-4 所以不等式-2x2+x+3<0的解集是 <x<1. {<-1或>} 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 例2：①当a=0时，原不等式即为-x+1<0,解得x>1. 题型探究提技能 ②当a<0时，原不等式化为(x-。)x-1)>0,解得x< 例1：(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,·.-1<x< 1 2 或x>1 故原不等式的解集为{x-1<x<2} 11 ⑧若0<a<1.原不等式化为(e-)(x-1)<0解得1<x (2)原不等式可化为-1 3x5s0, 5 a 「(x-1)(3x+5)≤0 3≤x≤1， 5 综上可知，当a<0时，原不等式的解集 即-3 <x≤1. 3x+5≠0. 5 为x<石或>1小 31 当a=0时，原不等式的解集为{xlx>1}: 放原不等式的解集为{+-子<≤} 当0<a<1时，原不等式的解集为x1<x<上】 a (3)原不等式可化为-1 x+2 -1>0, 跟踪训练2：原不等式可化为(x-a)(x-2)<0; 方程x2-(a+2)x+2a=0的两根为x1=2,x2=a, =1-（+2>0,即3 x+2 0x+2>0,则x<-2. 又函数y=x2-(a+2)x+2a的图象开口向上， 故原不等式的解集为xlx<-2. -319