专题03 三角函数-2021年中考数学专项训练（河南专用）

专题03 三角函数 1. （2020·洛阳）如图Z－03－1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M(，2)，那么cosα的值是(　D　) A. B. C. D. 图Z－03－1 1.【解析】如解图，作MH⊥x轴于H.∵M(，2)，∴OH＝，MH＝2，∴OM＝＝3，∴cosα＝＝. 故选：D． 2．（2020·扬州）如图Z－03－2，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB的长为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为(　A　) 图Z－03－2 A. B. C. D. 2.【解析】解：如图，连接AC，BC.∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是，∴根据圆周角定理，知∠ADC＝∠ABC.在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义，知sin∠ABC＝.∵AC＝2，CB＝3，∴AB＝，∴sin∠ABC＝＝，∴sin∠ADC＝. 故选：A． 3．（2020·重庆A卷）如图Z－03－3，在某居民楼AB楼底点B左侧水平距离60 m的点C处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1∶0.75，山坡坡底点C到坡顶点D的距离CD＝45 m，在坡顶点D处测得居民楼楼顶点A的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)(　B　) 图Z－03－3 A．76.9 m B．82.1 m C．94.8 m D．112.6 m 3.【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则四边形DFBE是矩形．在Rt△DCF中，∵CD的坡度为1∶0.75，∴＝.设DF＝4k，CF＝3k，则CD＝5k.∵CD＝45，∴k＝9，∴DF＝36，CF＝27，∴BE＝36，DE＝BF＝27＋60＝87.在Rt△ADE中，AE＝DE·tan∠ADE≈87×0.53＝46.11，∴AB≈46.11＋36≈82.1(m)． 故选：B． 4. (2020原创)在如图Z－03－4所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为(　A　) 　　 图Z－03－4 A. B. C. D. 4.【解析】如解图，取格点D，在Rt△ACD中，AD＝3，CD＝4，tan∠BAC＝＝. 故选：A． 5．（2019·德州）如图Z－03－5，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°.如果梯子的底端B外移到D，那么梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02 米．(参考数据：sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64) 图Z－03－5 5.【解析】解：在Rt△OAB中，sin70°＝＝≈0.94，∴AO≈5.64. 在Rt△OCD中，sin50°＝＝≈0.77， ∴CO≈4.62，∴AC≈5.64－4.62＝1.02(米)． 6．（2020·咸宁）如图Z－03－6，海上有一灯塔P位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方时，轮船与灯塔P的距离是 20.8 n mile.(结果保留一位小数，≈1.73) 图Z－03－6 6.【解析】解：如图，过点P作PD⊥AB于点D.由题意得AB＝24，∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，∴∠APB＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝BP＝24.在Rt△PBD中，PD＝BP·sin∠PBD＝24×＝12 ≈20.8(n mile)． 7．（2020·眉山）如图Z－03－7，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20 米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度． 图Z－03－7 7．【解析】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E. 在Rt△DEC中，∵i＝＝，∴CE＝2DE. ∵DE2＋CE2＝CD2，即DE2＋(2DE)2＝(20 )2， ∴DE＝20(米)，∴CE＝40米． 过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H， 则四边形DEBG，四边形DECH，四边形BCHG都是矩形， ∴DE＝CH＝BG＝20米，DG＝DH＋HG＝EC＋BC. ∵∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，