学易金卷：2020-2021学年高二数学（理）上学期期末测试卷02（人教A版）（测试范围：必修2、选修2-1）

期末测试卷02（理） （本卷满分150分，考试时间120分钟） 测试范围：必修2、选修2-1（人教A版） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．如图所示，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 ，故选B。 2．如图所示，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形，且 、 均为正三角形， ， ，则该多面体的体积为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形 中易知 ， ∴ ， 则该几何体体积为 ，故选A。 3．若直线 过点 ，且与以 、 为端点的线段恒相交，则直线 的斜率的范围是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】如图， ， ， 则 ，故选A。 4．已知抛物线 的焦点与双曲线 ( )的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】抛物线 的焦点 ，则双曲线 ( )的一个焦点为 ， 则 ，焦点在 轴上，且 ，则 ，双曲线的方程为 ， 其渐近线方程为 ，故选C。 5．在地球北纬 圈上有 、 两点，它们的经度相差 ， 、 两地沿纬线圈的弧长与 、 两点的球面距离之比为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题知 ， ，∴ 两地的球面距离是 ， 而 两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周，∴ ，∴ ， 故选D。 6．设抛物线 ： ( )的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 、 两点，若 ， 的面积为 ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】∵ ， ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ， ∴ 到准线 的距离 ， ∴ ，解得 ，故选A。 7．已知正三角形 的边长为 ， 是 边的中点，将三角形 沿 翻折，使 ，若三角锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】正 如图，将三角形 沿 翻折后，注意以 为底面， 形成三角锥 ，则 平面 ， ∵ ， ，∴ ， 三角锥 的外接球球心一定在经过底面 的外心且垂直于底面 的垂线上， 设球心为 ，外心为 ， 中点为 ，外接球半径为 ，由底面可知 ， 做剖面 ，则 ，过 做 ，垂足为 ， 则 为 中点， ， 在 中， ，则 ，故选A。 8．如图所示，平行六面体 的各棱长均相等， ，直线 平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】设 、 、 ，且棱长均为 ，则 ， 连接 、 ， ，连 ，则 一定在 上， 又 与 相似，∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ，∴ ， ，又 ，∴ ， 则 ， ∴ ， 又 ，异面直线 与 所成角与 与 所成角相同，设为 ， 则 ，故选D。 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知向量 ， ，若 ， ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AC 【解析】∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， 当 时 ，则 ，当 时 ，则 ，故选AC。 10．过点 的直线 与圆 ： 交于 、 两点，当 时，直线 的斜率为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】BC 【解析】由题意得 ，则圆心 到直线 的距离为 ， 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时直线 与圆相切，不合题意，舍去， 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，则 ， 解得 ，故选BC。 11．已知四面体 是球 的内接四面体，且 是球 的一条直径， ， ，则下面结论正确的是( )。 A、球 的表面积为 B、 上存在一点 ，使得 C、若 为 的中点，则 D、四面体 体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】∵ 是球 的一条直径，∴ ， ，∴ ， 球 的半径为 ，球 的表面积为 ，A正确， ∵ 与平面 相交， 上找不到一点 ，使得 ，B错误， 连接 、 ，∵ ， 为 的中点，∴ ，C正确， 易知点 到平面 的距离的最大值为球的半径 ， ∴四面体 体积的最大值为： ，D正确， 故选ACD。 12．已知 、 是双曲线 ( ， )的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 ，交另一条渐近线于点 ，且 ，则该双曲线的离心率为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AC 【解析】(1)当 时，设 ，则 ，设 ， 由题意可知 ， ， ， ， 则 ， ， ， 代入得 ， 即 ，解得 ，则 ， (2)当 时，设 ， ，设 ， 则 ， ， 由题意可知 ， ， ， ， 则 ， ，