专题12 与正方形有关的三垂线-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题12 与正方形有关的三垂线 一、单选题 1．如图，点，点在射线上匀速运动，运动的过程中以为对称中心，为一个顶点作正方形，当正方形的面积为40时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作轴于，轴于E，根据的坐标求得直线的斜率，进一步得出直线的斜率为，通过证得，得出，，可设，则，然后根据待定系数法求得直线的斜率为，整理得，然后根据勾股定理得出，代值求解即可． 【详解】 解：作轴于，轴于E， 设直线的解析式为， ∵点 ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴直线的斜率为 又∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 设，则 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴ 整理得： ∵正方形面积为40 ∴ ∴在中，，即： 解得： ∴ ∴ 故答案选B 【点睛】 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线的斜率列出方程是解题的关键． 二、解答题 2．探究证明： （1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM； （2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：； （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】 （1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可； （3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可． 【详解】 （1）证明∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠C=90° ∴∠NBA+∠NBC=90°． ∵AM⊥BN， ∴∠MAB+∠NBA=90°， ∴∠NBC=∠MAB， ∴△BCN∽△ABM， ∴= （2）结论：= 理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∴BG=EF． ∵EF⊥AM， ∴BG⊥AM， ∴∠GBA+∠MAB=90°． ∵∠ABC=∠C=90°， ∴∠GBC+∠GBA=90°， ∴∠MAB=∠GBC， ∴△GBC∽△MAB， ∴=， ∴= （3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS． ∵AM⊥DN， ∴由（2）中结论可得：= ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC， ∴△ACD≌△ACB， ∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠SDC+∠RDA=90°． ∵∠RAD+∠RDA=90°， ∴∠RAD=∠SDC， ∴△RAD∽△SDC， ∴= ，设SC=x， ∴= ∴RD=2x，DS=10-2x， 在Rt△CSD中，∵， ∴52=（10-2x）2+x2， ∴x=3或5（舍弃）， ∴BS=5+x=8， ∴=== 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键． 3．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α （0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论； （3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值． 【答案】（1）BG＝AE，BG⊥AE，见解析；（2）结论成立，BG＝AE，BG⊥AE，见解析；（3）当α为270°时，AE最大，AF＝ 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可