专题11 构造平行四边形-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题11 构造平行四边形 一、单选题 1．如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ） A．13 B．10 C．12 D．5 【答案】B 【分析】 连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG． 【详解】 连接BD，交AC于点O， 由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点， ∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD， ∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24， ∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD， 又∵ABCD，EFBD ∴DEBG，BDEG 在四边形BDEG中， ∵DEBG，BDEG ∴四边形BDEG是平行四边形 ∴BD=EG 在△COD中， ∵OC⊥OD，CD=13，CO=12 ∴OD=OB=5 ∴BD=EG=10 故选B． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 2．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（ ） A．2 B．3 C．6 D．2或6 【答案】D 【分析】 分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】 ①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则CF=BC-BF=6-2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=6-2t， 解得：t=2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则CF=BF-BC=2t-6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=2t-6， 解得：t=6； 综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选D． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 二、解答题 3．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）． （3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，证明见解析 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，由矩形的判定可证四边形ADCE为矩形； （2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC＝DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE＝BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形； （3）由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，即可证四边形ADCE是正方形． 【详解】 证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE． 又∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB＝DE，AE＝BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形， 理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD＝CD＝BD， 又∵四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形． 【点睛】 本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB． （1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由； （2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC= 【答案】（1）∠DEF=∠B，理由见解析；（2）32 【分析】 （1）延长EF交BC于G，根据平行四边形的判定和性质即可