专题09 有60°和90°角的旋转-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题09 有60°和90°角的旋转 一、单选题 1．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 2．如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，均为等边三角形，三点共线，且是的中点，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④⑤，其中正确的个数为（ 　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（ ） A．1 B． C． D．4 5．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个． ①△BED是等边三角形；②AE∥BC； ③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC． A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 6．（探索发现） 如图①，已知在△ABC中，BAC= 45°，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD与BE相交于F． （1）线段AF与BC的数量关系是：AF BC，（用>，<，=填空）； （2）若ABC=67.5°，试猜想线段AF与BD有何数量关系，并说明理由． （拓展应用） （3）如图②，在△ABC中，ADBC，垂足为D，已知BAC=45°，C=22.5°，AD= ，求△ABC的面积． 7．在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D (1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD； (2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD； (3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 8．（1）（方法探索）如图，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长． 解：把绕着点顺时针旋转得到，连接，请接着写下去： （2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题 ①如图，点在等边外，且，，，若，求度数； ②如图，在中，，，是外一点，连接、、已知，．请直接写出的长． 9．在中，，点在平面内，连接，并将线段绕顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）如图，如果点是边上任意一点．则线段和线段的数量关系是__________． （2）如图，如果点为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）如图，在中，，，，是线段上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转60°，得到线段，连接．请直接写出线段长度的最小值． 10．已知在中，，，于． （1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． 求证：； （2）如图2，点是线段上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 11．如图，BC为等边△ABM的高，AB＝，点P为射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接MD，BD． （1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：BP＝MD； （2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，求证：BP＝MD； （3）若点P在线段BC的延长线上，且∠BDM＝30°时，请直接写出线段AP的长度． 12．如图，在等腰中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD． （1）求证：； （2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长． 13．综合与实践 如图1，在等边三角形中，点在内部，且猜想三条线段之间有何数量关系，并说明理由． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： （1）想法一：在图1中，将绕点按逆时针方向旋转得到连接寻找三条线段之间的数量关系； （2）想法二：在图2中，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接寻找三条线段之间的数量关系． 14．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：EB=DC； （2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数． 15．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°． （1）①如图1，若