专题3.3 概率的简单应用（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题3.3  概率的简单应用（知识讲解）

【问题探索】

问题： 我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会。事先准备三张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画。把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？——先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？

解答：

假设这3名同学分别记作甲、乙、丙，他们抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三。三张小纸条中，画有记号的纸条记作A，余下的两张没有记号的纸条分别记作B1和B2。

用表格列出所有可能出现的结果：

	第一次 （甲抽）	第二次 （乙抽）	第三次 （丙抽）	所有可能出现的结果
开始

从上图可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共       种可能的结果，并且它们是等可能的。

甲中签的概率P（甲中签）=    

乙中签的概率P（乙中签）=    

丙中签的概率P（丙中签）=    

【新课引入】

抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必挣着先抽签。

抽签的方法是合理的

【总结归纳】

1．概率——表示一个事件发生的可能性的大小叫做该事件发生的概率。

①概率是反映事件发生的可能性大小的量；

②事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0；

③求概率时一般用列表法或画树状图法。

2．判断一个游戏是否公平，关键是看在这个游戏规则之下，双方获胜的可能性是否相等。

游戏规则是判断一个游戏公平与否的关键，当一个游戏不公平时，可以通过修改游戏规则使游戏变得公平。

3．利用概率估计实际问题，当试验的频率稳定在某一常数时，我们可以从试验频率近似等于某一事件发生的概率为解题依据，利用不同概率的计算方法估计出事件中部分或全体的数

量。——①必须在相同条件下进行试验；②试验次数也多，估计值就越接近准确值。

4．一般地，如果随机事件A发生的概率是P（A），那么，在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m为nP（A）。

【精选例题】

（一）随机事件概率的求法

例1  从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，求所得一次函数中y随x的增大而增大的概率。

解析：

首先，考虑一次函数的性质，何时y随x的增大而增大，再根据概率公式算概率。

解答：k=1或2时，y随着x的增大而增大；

k=-1时，y随着x的增大而减小

所得一次函数中y随x增大而增大的概率是。

反思小结：

本题综合考察了一次函数的增减性和求事件发生的概率，解题的关键是对一次函数性质的理解。

例2  在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．

（1）搅匀后从中任意摸出2个球，请通过列表或树状图求摸出2个球都是白球的概率；

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，则2次摸出的球都是白色的概率为            ；

（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为             ．

解析：

（1）分别用白1、白2、红表示这3个球．从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果如下：

一个球	另一个球	结果
白1	白2	(白1，白1)
白1	红	（白1，红）
白2	白1	（白2，白1）
白2	红	（白2，红）
红	白1	（红，白1）
红	白2	（红，白2）

共有6种结果，它们出现的可能性相同．

所有的结果中，摸到的2个球都是白球的结果有2种，

所以P（摸出2个白球）＝ ；

（2） ；（3）

反思小结：

由树状图或列表法可以求出事件发生的概率，解题时适当选择一种方法即可，无论是哪种方法，必须要写明“共有     种结果，它们出现的可能性相同（这是一个失分点）”。

变式训练：

1．布袋中装有红、白和黑三个不同颜色的小球，从中任意摸出一只是红色的概率是（   ）．

A．      B．       C．         D．

2．如图，两个用来摇奖的转盘，其中说法正确的是（    ）．

A． 转盘（1）中蓝色区域的面积比转盘（2）中的蓝色区域面积要大，所以摇转盘（1）比摇转盘（2）时，蓝色区域得奖的可能性大

B． 转盘（1）中，指针指向红色区域的概率是

C． 两个转盘中指针指向蓝色区域的机会一样大

D． 在转盘（2）中只有红、黄、蓝三种颜色，指针指向每种颜色的概率都是

3．甲乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的四张牌做数字游戏。游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下，洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数。若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗？

4．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：（1）同时转动转盘A与B；

（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割在线，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜；你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．

答案：

1.B；2.C；

3.这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：

第一次 第二次

3

4

5

6