专题4.1 复习与小结（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题4.1  复习与小结（知识讲解）

一、二次函数的基础知识和基本技能

1．二次函数的图像和性质

①三种形式的解析式：

（）；（）；（）

②二次函数的系数与图像特征的关系：

的正负决定抛物线的开口方向，大小决定抛物线开口大小（绝对值越大，开口越小）；

和的值（或的值）决定抛物线的对称轴的位置：对称轴是或者；

的值决定了抛物线与纵轴（y轴）的交点坐标：（0，c）；

方程的根决定了抛物线与横轴（x轴）的交点坐标：（，0）和（，0）；

、、三个系数（或、）共同决定抛物线顶点坐标：（，）或（h，k）；

（即）的正负决定了抛物线与横轴（x轴）的交点个数；

③抛物线的平移：

平移口诀：左加右减（x加减），上加下减（y加减）。一般将解析式化简成顶点式，再看平移，较为准确。

④二次函数的性质

先找到对称轴，再看开口方向，根据大致图像看性质——判断y随x增大而增大（或者减小）；

2．二次函数的基本技能

①待定系数法求二次函数解析式：已知三点设一般式；已知顶点和另外一点设顶点式；已知图像与x轴两交点设交点式；

②配方法：把一般式配成顶点式，求图像顶点坐标、对称轴，或运用配方法求函数最值；

③在应用题中运用等量关系列二次函数解析式：根据实际问题，找等量关系，列函数解析式解决实际问题。

二、三角函数的概念与应用

1．三角函数概念：

sin=；cos=；tan=

2．特殊角的三角函数值：

Sin30°=；sin45°=；sin60°=；

cos30°=；cos45°=；cos60°=；

tan30°=；tan45°=1；tan60°=.

3．三角函数的应用：

三角函数的应用题中，常见的图形如上所示，在解题时，通常都要作辅助线，构造直角三角形，然后在两个或一个直角三角形中，利用三角函数或勾股定理列方程进行解答。

三、统计与概率的简单应用

1．统计题的解答：一定要运用统计知识作为说理依据，一定要辩证的分析问题，一定要全面的分析；

2．概率题解答：要掌握几种方法——枚举法、列表法、树状图法；一定要严格按照概率公式进行计算；要注意解题中的细节。

【精选例题】

（一）二次函数的概念、性质及其图像特征

例1  （1）下列函数中，不是二次函数的是（    ）

A、y=            B、y=2（x-1）2+4

C、y=      D、y=（x-2）2-x2

（2）点E为正方形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF．设AF＝x，△BEF的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ）

（3）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为＿＿＿＿＿＿＿．

 

 

 

解析：

（1）先把解析式化为一般形式，与二次函数的定义进行比较即可，答案为D；

（2）如果设正方形周长，列出△BEF周长关于x的函数关系式，结果发现是含二次根式的解析式，看不出函数图象。因此，只能按照AF从小到大，看F点位于几个关键点（A点、AC中点、C点）处三角形的周长，通过直观判断其周长的变化来选择图像，设正方形边长为a，F位于A处周长为、位于AC中点处周长为、位于C点处周长为，由此可以看出，y随着x的增大先减小再增大，因此选择B；

（3）把点（m，0）代入解析式得，变形得，代入

结果为2009。

反思小结：

第（2）题，这类题型通常只需观察计算几个特殊位置y与x的关系，进行比较、猜想；

第（3）题，也是一类典型的整体代入法求代数式的值的题型，常告诉我们抛物线过某点或方程的解为多少，再求某代数式的值，解题时把点的坐标或方程的解代入解析式或方程，得到一个代数式的值，在结合要求的代数式的结构进行整体代入。

例2  设函数 （k为实数）．

（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；

（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数K，函数的图象都具有的特征，并给予证明；

（3）对任意负实数k，当x<m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．

解析：

（1）当k＝1时，，当k＝0时，，图略．

（2）对任意实数k，函数的图象都经过点（－2，－1）和点（0，1）

证明：把x＝－2代入函数，得y＝－1，即函数的图象经过点（－2，－1）；把x＝0代入函数，得y＝1，即函数的图象经过点（0，1）．

（3）当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，

其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以