沪教版（上海）数学高二下册-13.1 复数的概念 教案

13.1复数的概念 【教学目标】 1、 体会虚数引入的必要性以及引入复数的需要，了解虚数提出的整个历史过程。 2、 理解虚数单位的定义()以及实数与加法、乘法运算的规定。 3、 理解复数集、复数的代数形式、复数的实部与虚部的概念以及复数的分类，体会分类讨论、等价转化的数学思想方法。 4、 理解两个复数相等的意义。 【教学重点和难点】 体会虚数引入的必要性以及引入复数的需要，通过实数与加法、乘法运算的规定得到复数的代数形式。 【教学过程】 （一）问题引入 问：，，求（1）的值； （2）求和的值。 问：既然和能够求出来，那能不能求出和的值呢？ 事实上在实数范围内和确实不存在？为什么会这样呢？假设和是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容复数的概念。 其实刚才的问题中曾经有位意大利数学家卡尔丹（G.Candano,1501-1576）也这么认为，但他运用二次方程的求根根式却发现。他同时也表示“这确实令人费解”。这确实让人匪夷所思，方程的根即函数图像与轴交点的横坐标。对于函数，从函数图像上看，方程两根之和为对称轴上点的横坐标的两倍，两数之积为图像与轴的交点的纵坐标。我们可以清楚地看到和与积所在的位置（如图），却找不到这两个数......它们都去哪儿了呢？ 事情远不如此，我们还知道一元二次方程的根有三种情形：（1）当时有两个相异实根；（2）当时有两个相等实根；（3）当时没有实根。对照前两种情形，第三种显得不太和谐，能否有一种比较和谐的状态？ 我们曾经学习过一元二次方程的求根公式和韦达定理，其实三次方程也有求根根式（也叫卡丹公式）和韦达定理，阅读材料有过介绍，卡尔丹在解三次方程时还发现一个求方程正根的算法。，他举例说明该公示的应用时，仍很小心地避免了“不可约”（即判别式）情形的出现。卡尔丹同时代的意大利数学家邦贝利（R.Bombelli）是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。他在解三次方程时遇到了一个奇怪的现象，我们不妨了解一二。他用卡尔丹公式得到了的三个根，他又换个角度，把这个三次方程因式分解为，这里有一个根，从也解出了。你们发现了什么？（突出矛盾，引发学生好奇心） 同一个方程，根当然相同，这是一个不争的事实。但这个式子无疑激起了我们的好奇，一边是实数4，一边是用两个负数的平方根组合而成的数