专题09二次函数的图象及性质-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题09二次函数的图象及性质 【方法指导】 1.二次函数的图象和性质 图象 [来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:学科网ZXXK] 开口 向上 向下 对称轴 x＝ 顶点坐标 增减性 当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小. 当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大. 最值 x=，y最小＝. x=，y最大＝. 2.系数a、b、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. a、 b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 3.平移与解析式的关系 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 4.二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 5.二次函数与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 【题型剖析】 【类型1】二次函数的性质 【例1】（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（1，3） C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断． 【解析】∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大， 令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1，x2＝1， ∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点． 故选：C． 【变式1.1】（2020•呼和浩特）关于二次函数yx2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（　　） A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5 B．当x＝12时，y有最小值a﹣9 C．x＝2对应的函数值比最小值大7 D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点 【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x＝2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D． 【解析】A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后， 表达式为：， 若过点（4，5）， 则，解得：a＝﹣5，故选项正确； B、∵，开口向上， ∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确； C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误； D、△，当a＜0时，9﹣a＞0， 即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确， 故选：C． 【变式1.2】（2020•呼和浩特）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果． 【解析】∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1， 当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等， 可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，