专题08反比例函数及综合问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学必考经典题型讲练案（全国通用） 专题08反比例函数及综合问题 【方法指导】 1.反比例函数知识梳理： 1．反比例函数的图象和性质 k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 2.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 3.系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型： 4.与一次函数的综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【题型剖析】 【类型1】反比例函数的图象 【例1】（2020•威海）一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案． 【解析】A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误； B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误； C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故错误； D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故正确； 故选：D． 【变式1.1】（2020•青海）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案． 【解析】∵ab＜0， ∴分两种情况： （1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y图象在第二、四象限，无选项符合． （2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y图象在第一、三象限，故B选项正确； 故选：B． 【变式1.2】（2020•天水）若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧可知b＜0，再由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案． 【解析】∵由函数图象交于y轴的正半轴可知c＞0， ∴反比例函数y的图象必在一、三象限，故C、D错误； ∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0， ∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确． 故选：B． 【类型2】反比例函数的性质 【例2】（2020•德阳）已知函数y，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B． C．﹣2或 D．﹣2或 【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【解析】若x＜2，当y＝3时，﹣x+1＝3， 解得：x＝﹣2； 若x≥2，当y＝3时，3， 解得：x，不合题意舍去； ∴x＝﹣2， 故选：A． 【变式2.1】（2020•大庆）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题． 【解析】①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意； ②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意； ③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜