专题1.7 二次函数的应用（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题1.7  二次函数的应用（知识讲解）

【问题探索】

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

答案：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为 (60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润

 

当时，

【新课引入】

提问：

1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？

2、由上给出引例：

引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？

对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。

 

 

 

 

答案:如图，水平面所在的直线为轴，以甲学生身体所在的垂线为轴，建立直角坐标系。

甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，

距地面均为1米

点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（4,1）

学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米

点C的坐标为（1,1.5）。

设抛物线为，

把B（4,1）和C（1,1.5）代入上式的，，

解得：，，所以抛物线为；

又学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，

当时，

学生丁的身高为1.625米。

总结：1、要解决这个实际问题，关键是如何建立直角坐标系；

      2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；

      3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；

      4、用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。

【总结归纳】 

一、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。

（1）求解析式的一般方法：

①已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式；

②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式；

③已知图象与x轴的两个交点的横坐标为x1、x2， 通常选择交点式（不能做结果，要化成一般式或顶点式）。

（2）求交点坐标的一般方法：

①求与轴的交点坐标，当代入解析式即可；求与轴的交点坐标，当代

入解析式即可。

②两个函数图象的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。

二、二次函数常用来解决最优化问题

对于二次函数，即，当时，函数有最值。最值问题也可以通过配方解决，即将配方成，当时，函数有最值。

三、二次函数的实际应用包括以下方面：

（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。

（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。

四、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。

从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：

 

 

 

【精选例题】

（一）利用二次函数求最值——销售问题

例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解析：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数式．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为( 60＋x )( 300－10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x )。

根据题意得：

）

（3）运动员乙要抢到第二个落点，

他应再向前跑多少米？（取）

解析：

（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为
由已知：当时  即
表达式为   （或）

（2）令
（舍去）．
足球第一次落地距守门员约13米．

（3）如图，第二次足球弹出后的距离为
根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位长度）
解得

（米）．

 

 

 

反思小结：这是三道有趣的贴近日常生活的函数应用问题，主要考查了同学们将实际问题转化为数学问题及利用数学知识解决实际问题的能力．题目清新自然，包含浓厚的生活气息，能极大地调动同学们解决问题的积极性．这类题是近几年比较热门的题型，请同学们在平时的学习中要多加关注。

变式训练：

1、甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s(米)与其距地面高度h(米)