专题2.1 锐角三角函数（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题2.1  锐角三角函数（知识讲解）

【问题探索】

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：成立吗？

（1）当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？

（2）上面等式的值随∠A的变化而变化吗？

 

【新课引入】

由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

  这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。

1、在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA即：

同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.

3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________.

思考：

你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：

 

30°

45°

60°

sinθ
cosθ
tanθ

（根据一付三角板的三边关系进行计算）

【总结归纳】

1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；

2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。

【精选例题】

（一）锐角三角函数的概念

例1、（1）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（  ）

    A．不变      B．扩大5倍    C．缩小5倍    D．不能确定

（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（  ）

    A．8cm      B．      C.       D.

（3）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BC=6cm，那么tan为（  ）

A．        B．        C．      D.

解析：

（1）角A的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt△ABC各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。故选A；

（2）画直角三角形草图，根据cosA=可知，，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。故选A；

（3）画菱形ABCD，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan=。故选A。

反思小结：

解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。

变式训练

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A的各个三角函数值 (      )

A．都缩小          B．都不变

C．都扩大3倍        D．无法确定

2．如图，在正方形网格中,直线AB．CD相交所成的锐角为α，则sinα的值是（     ）

A.       B.        C.        D.

3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（      ）

A．        B．      C．     D．

 

 

 

 

4. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=则cosB=        .

5．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则tanB=            ．

答案：

1．B；  2. C；  3. C；  4. ；  5.

 

（二）特殊角的三角函数值

例2  计算下面各式：

①               ②

解析：

①==